微积分学示例

$\frac{d q}{d t} + q = 4 \cos (2 t)$ , $q (0) = 1$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int d t}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{t + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{t}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{t}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{t}$ 。

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = e^{t} (4 \cos (2 t))$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$

解题步骤 2.3

将 $e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$ 中的因式重新排序。

$e^{t} \frac{d q}{d t} + q e^{t} = 4 e^{t} \cos (2 t)$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{t} q] = 4 e^{t} \cos (2 t)$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} q] d t = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{t} q = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$e^{t} q = 4 \int e^{t} \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.2

将 $e^{t}$ 和 $\cos (2 t)$ 重新排序。

$e^{t} q = 4 \int \cos (2 t) e^{t} d t$

解题步骤 6.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (2 t)$ ， $d v = e^{t}$ 。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - \int e^{t} (- 2 \sin (2 t)) d t)$

解题步骤 6.4

由于 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - (- 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t))$

解题步骤 6.5

化简表达式。

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解题步骤 6.5.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t)$

解题步骤 6.5.2

将 $e^{t}$ 和 $\sin (2 t)$ 重新排序。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int \sin (2 t) e^{t} d t)$

解题步骤 6.6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (2 t)$ ， $d v = e^{t}$ 。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - \int e^{t} (2 \cos (2 t)) d t))$

解题步骤 6.7

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - (2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)))$

解题步骤 6.8

通过相乘进行化简。

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解题步骤 6.8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

解题步骤 6.8.2

运用分配律。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) + 2 (- 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

解题步骤 6.8.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) - 4 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)$

解题步骤 6.9

求解 $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ ，我们发现 $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ = $\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5}$ 。

$e^{t} q = 4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5} + C)$

解题步骤 6.10

化简答案。

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解题步骤 6.10.1

将 $4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}}{5} + C)$ 重写为 $4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$ 。

$e^{t} q = 4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$

解题步骤 6.10.2

化简。

$e^{t} q = \frac{4}{5} e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + C$

解题步骤 7

将 $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ 中的每一项除以 $e^{t}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ 中的每一项都除以 $e^{t}$ 。

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $q$ 除以 $1$ 。

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

约去 $e^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

约去公因数。

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

用 $\frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ 除以 $1$ 。

$q = \frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.3.1.2

运用分配律。

$q = \frac{4}{5} \cos (2 t) + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.3.1.3

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $\cos (2 t)$ 。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.3.1.4

乘以 $\frac{4}{5} (2 \sin (2 t))$ 。

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解题步骤 7.3.1.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.3.1.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.3.1.4.3

组合 $\frac{8}{5}$ 和 $\sin (2 t)$ 。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 8

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $1$ 代入 $q$ ，在 $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ 中求 $C$ 的值。

$1 = \frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$

解题步骤 9

求解 $C$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$ 。

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

解题步骤 9.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.1

化简 $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$ 。

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解题步骤 9.2.1.1

在公分母上合并分子。

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

解题步骤 9.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 \cos (0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

解题步骤 9.2.1.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{4 \cdot 1 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

解题步骤 9.2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

解题步骤 9.2.1.2.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 + 8 \sin (0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

解题步骤 9.2.1.2.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{4 + 8 \cdot 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

解题步骤 9.2.1.2.6

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 + 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

解题步骤 9.2.1.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

解题步骤 9.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.4.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{4}{5} + \frac{C}{1} = 1$

解题步骤 9.2.1.4.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$\frac{4}{5} + C = 1$

解题步骤 9.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{4}{5}$ 。

$C = 1 - \frac{4}{5}$

解题步骤 9.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$C = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

解题步骤 9.3.3

在公分母上合并分子。

$C = \frac{5 - 4}{5}$

解题步骤 9.3.4

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$C = \frac{1}{5}$

解题步骤 10

代入 $\frac{1}{5}$ 替换 $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 10.1

代入 $\frac{1}{5}$ 替换 $C$ 。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{e^{t}}$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e^{t}}$

解题步骤 10.2.2

合并。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 e^{t}}$

解题步骤 10.2.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5 e^{t}}$

微积分学 示例

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