微积分学示例

$y \frac{d y}{d x} - (1 + y) x^{2} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

运用分配律。

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 \cdot 1 - y) x^{2} = 0$

解题步骤 1.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 - y) x^{2} = 0$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$y \frac{d y}{d x} - 1 x^{2} - y x^{2} = 0$

解题步骤 1.1.1.4

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$y \frac{d y}{d x} - x^{2} - y x^{2} = 0$

解题步骤 1.1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.2.1

在等式两边都加上 $x^{2}$ 。

$y \frac{d y}{d x} - y x^{2} = x^{2}$

解题步骤 1.1.2.2

在等式两边都加上 $y x^{2}$ 。

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$

解题步骤 1.1.3

将 $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

解题步骤 1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

解题步骤 1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.3.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + x^{2}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $\frac{x^{2}}{y} + x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $\frac{x^{2}}{y}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2}$

解题步骤 1.2.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.3

从 $x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + 1)$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + \frac{y}{y})$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1 + y}{y}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{y}{1 + y}$ 。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} (x^{2} \frac{1 + y}{y})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1 + y}{y}$ 。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

解题步骤 1.4.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

约去公因数。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

解题步骤 1.4.2.2

重写表达式。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x^{2} (1 + y))$

解题步骤 1.4.3

约去 $1 + y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

从 $x^{2} (1 + y)$ 中分解出因数 $1 + y$ 。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

解题步骤 1.4.3.2

约去公因数。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

解题步骤 1.4.3.3

重写表达式。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{y}{1 + y} d y = x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{1 + y} d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 和 $y$ 重新排序。

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.2

用 $y$ 除以 $y + 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$1$

$y$

$0$

解题步骤 2.2.2.2

将被除数中的最高阶项 $y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

解题步骤 2.2.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

解题步骤 2.2.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y + 1$ 中的所有符号

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

解题步骤 2.2.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

解题步骤 2.2.2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.4

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.5

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.6

使 $u = y + 1$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.6.1

设 $u = y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.6.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.6.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.6.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.7

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.8

化简。

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.9

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

微积分学 示例

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