微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{3 + y}$ 。

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

解题步骤 1.2

约去 $3 + y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{3 + y} d y = \frac{1}{1 - 2 x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{3 + y} d y = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = 3 + y$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = 3 + y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $3 + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $3 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.3

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $3 + y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{2} = 1 - 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{2} = 1 - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $1 - 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.2

求微分。

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解题步骤 2.3.1.1.2.1

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2$

解题步骤 2.3.1.1.4

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将负号移到分数的前面。

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2.3

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.6

化简。

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $1 - 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简右边。

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解题步骤 3.1.1

组合 $\ln (| 1 - 2 x |)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$

解题步骤 3.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 3 + y |) + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

解题步骤 3.3

要将 $\ln (| 3 + y |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| 3 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

解题步骤 3.4

化简项。

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解题步骤 3.4.1

组合 $\ln (| 3 + y |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

解题步骤 3.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

解题步骤 3.5

将 $2$ 移到 $\ln (| 3 + y |)$ 的左侧。

$\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

解题步骤 3.6

化简左边。

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解题步骤 3.6.1

化简 $\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2}$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| 3 + y |)$ 。

$\frac{\ln ({| 3 + y |}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

解题步骤 3.6.1.1.2

去掉 ${| 3 + y |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

解题步骤 3.6.1.1.3

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2} = C$

解题步骤 3.6.1.2

将 $\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |) = C$

解题步骤 3.6.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ 。

$\ln ({({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.6.1.4

对 ${(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |$ 运用乘积法则。

$\ln ({({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5

将 ${({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1.5.2.1

约去公因数。

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5.2.2

重写表达式。

$\ln ({(3 + y)}^{1} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.6.1.6

化简。

$\ln ((3 + y) {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.6.1.7

运用分配律。

$\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.7

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

解题步骤 3.8

使用对数的定义将 $\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.9

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.9.1

将方程重写为 $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ 。

$3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

解题步骤 3.9.2

从等式两边同时减去 $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.9.3

将 $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项除以 ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 3.9.3.1

将 $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.9.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.9.3.2.1

约去公因数。

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.9.3.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.9.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.9.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{C - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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