微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{t}{y^{2}}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{t}{y^{2}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$y^{2} \frac{d y}{d t} = t$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y^{2} d y = t d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int t d t$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int t d t$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} t^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$y^{3} = 3 (\frac{t^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{3} = 3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

组合 $3$ 和 $\frac{t^{2}}{2}$ 。

$y^{3} = \frac{3 t^{2}}{2} + 3 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 t^{2}}{2} + 3 K}$

解题步骤 3.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{3 t^{2}}{2} + 3 K}$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $\frac{3 t^{2}}{2} + 3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $\frac{3 t^{2}}{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{t^{2}}{2} + K)}$

解题步骤 3.4.2

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{t^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

解题步骤 3.4.3

化简项。

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解题步骤 3.4.3.1

组合 $K$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

解题步骤 3.4.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2} + K \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.4.4

将 $2$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2} + 2 K}{2}}$

解题步骤 3.4.5

组合 $3$ 和 $\frac{t^{2} + 2 K}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (t^{2} + 2 K)}{2}}$

解题步骤 3.4.6

将 $\sqrt[3]{\frac{3 (t^{2} + 2 K)}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

解题步骤 3.4.7

将 $\frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.8

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.8.1

将 $\frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.8.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.4.8.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

解题步骤 3.4.8.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.8.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.4.8.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.4.8.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.8.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.8.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.8.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.4.8.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 3.4.9

化简分子。

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解题步骤 3.4.9.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

解题步骤 3.4.9.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

解题步骤 3.4.10

化简分子。

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解题步骤 3.4.10.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

解题步骤 3.4.10.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (t^{2} + 2 K)}}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (t^{2} + K)}}{2}$

微积分学 示例

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