微积分学示例

$\frac{d x}{d y} = 2 y + x + 3$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\frac{d x}{d y} - x = 2 y + 3$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (y) d y}$ 定义，其中 $P (y) = - 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 1 d y}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- y + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- y}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- y}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- y}$ 。

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + e^{- y} \cdot 3$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 移到 $e^{- y}$ 的左侧。

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$

解题步骤 3.4

将 $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$ 中的因式重新排序。

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

解题步骤 7.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{- y} x = 2 \int y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

解题步骤 7.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{- y}$ 。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

解题步骤 7.4

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

解题步骤 7.5

化简。

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解题步骤 7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

解题步骤 7.5.2

将 $\int e^{- y} d y$ 乘以 $1$ 。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

解题步骤 7.6

使 $u_{1} = - y$ 。然后使 $d u_{1} = - d y$ ，以便 $- d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.6.1

设 $u_{1} = - y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 7.6.1.1

对 $- y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 7.6.1.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 7.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

解题步骤 7.7

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

解题步骤 7.8

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 3 e^{- y} d y$

解题步骤 7.9

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int e^{- y} d y$

解题步骤 7.10

使 $u_{2} = - y$ 。然后使 $d u_{2} = - d y$ ，以便 $- d u_{2} = d y$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.10.1

设 $u_{2} = - y$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d y}$ 。

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解题步骤 7.10.1.1

对 $- y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 7.10.1.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 7.10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 7.10.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.11

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 7.12

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.13

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 7.14

化简。

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) - 3 e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 7.15.1

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.15.2

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$

解题步骤 8

将 $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ 中的每一项除以 $e^{- y}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- y}$ 。

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{- y}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3.2

化简每一项。

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解题步骤 8.3.2.1

运用分配律。

$x = \frac{2 (- y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 2 (y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 2 e^{- y} - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3.3

化简项。

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解题步骤 8.3.3.1

从 $- 2 e^{- y}$ 中减去 $3 e^{- y}$ 。

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3.3.2

从 $- 2 y e^{- y}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3.3.3

从 $- 5 e^{- y}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3.3.4

从 $- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3.3.5

从 $C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3.3.6

从 $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3.3.7

化简表达式。

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解题步骤 8.3.3.7.1

将 $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ 重写为 $- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ 。

$x = \frac{- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

解题步骤 8.3.3.7.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C}{e^{- y}}$

微积分学 示例

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