微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \csc (y)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\csc (y)}$ 。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\cos (x) \csc (y))$

解题步骤 1.2

约去 $\csc (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $\cos (x) \csc (y)$ 中分解出因数 $\csc (y)$ 。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\csc (y)} d y = \cos (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $\csc (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (y)}$ 。

$\int 1 \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$\int \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.2

$\sin (y)$ 对 $y$ 的积分为 $- \cos (y)$ 。

$- \cos (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$- \cos (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sin (x) + K = - \cos (y)$ 。

$\sin (x) + K = - \cos (y)$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$\sin (x) = - \cos (y) - K$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$x = \arcsin (- \cos (y) - K)$

解题步骤 3.4

将方程重写为 $\arcsin (- \cos (y) - K) = x$ 。

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

解题步骤 3.5

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $\cos (y)$ 。

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

解题步骤 3.6

在等式两边都加上 $K$ 。

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

解题步骤 3.7

将 $- \cos (y) = \sin (x) + K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.7.1

将 $- \cos (y) = \sin (x) + K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.7.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.7.2.2

用 $\cos (y)$ 除以 $1$ 。

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.7.3

化简右边。

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解题步骤 3.7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.3.1.1

移动 $\frac{\sin (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.7.3.1.2

将 $- 1 \cdot \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.7.3.1.3

移动 $\frac{K}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

解题步骤 3.7.3.1.4

将 $- 1 \cdot K$ 重写为 $- K$ 。

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

解题步骤 3.8

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

解题步骤 3.9

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

解题步骤 3.10

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $\cos (y)$ 。

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

解题步骤 3.11

在等式两边都加上 $K$ 。

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

解题步骤 3.12

将 $- \cos (y) = \sin (x) + K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.12.1

将 $- \cos (y) = \sin (x) + K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.12.2

化简左边。

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解题步骤 3.12.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.12.2.2

用 $\cos (y)$ 除以 $1$ 。

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.12.3

化简右边。

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解题步骤 3.12.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.12.3.1.1

移动 $\frac{\sin (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.12.3.1.2

将 $- 1 \cdot \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.12.3.1.3

移动 $\frac{K}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

解题步骤 3.12.3.1.4

将 $- 1 \cdot K$ 重写为 $- K$ 。

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

解题步骤 3.13

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \arccos (- \sin (x) + K)$

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