微积分学示例

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} - 7 x$

解题步骤 1

重写该方程。

$y d y = (x^{2} - 7 x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int x^{2} - 7 x d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} - 7 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 7 x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 7 x d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 7$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 7 \int x d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 7}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{7}{2}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 7}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

将 $7$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.2.1

将 $- \frac{7 x^{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- 7 x^{2}}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.2

约去公因数。

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- 7 x^{2}}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.3

重写表达式。

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要将 $- 7 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

化简项。

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解题步骤 3.4.2.1

组合 $- 7 x^{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

解题步骤 3.4.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $2 x^{3} - 7 x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) - 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

解题步骤 3.4.3.1.2

从 $- 7 x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} (- 7 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

解题步骤 3.4.3.1.3

从 $x^{2} (2 x) + x^{2} (- 7 \cdot 3)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 7 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

解题步骤 3.4.3.2

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + 2 K}$

解题步骤 3.4.4

要将 $2 K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 3.4.5

化简项。

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解题步骤 3.4.5.1

组合 $2 K$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.4.5.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21) + 2 K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.4.6

化简分子。

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解题步骤 3.4.6.1

运用分配律。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 21 + 2 K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.4.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 21 + 2 K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.4.6.3

将 $- 21$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.4.6.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.6.4.1

移动 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.4.6.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.6.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.4.6.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{1 + 2} - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.4.6.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.4.6.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}{3}}$

解题步骤 3.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.4.8

将 $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.4.9

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.9.1

将 $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.4.9.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.4.9.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 3.4.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 3.4.9.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.4.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.9.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.9.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 3.4.9.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.4.10

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$

解题步骤 3.4.11

将 $\pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + K)}}{3}$

微积分学 示例

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