微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

解题步骤 1

以数学表达式书写该问题。

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

解题步骤 2

分离变量。

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解题步骤 2.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

解题步骤 2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$y \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}$

解题步骤 2.3

重写该方程。

$y d y = 3 t^{2} d t$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int 3 t^{2} d t$

解题步骤 3.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

解题步骤 3.3.2

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

解题步骤 3.3.3

化简答案。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2

化简。

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解题步骤 3.3.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.3

将 $t^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = t^{3} + K$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (t^{3} + K)$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

解题步骤 4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (t^{3} + K)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 t^{3} + 2 K$

解题步骤 4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{2 t^{3} + 2 K}$

解题步骤 4.4

从 $2 t^{3} + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $2 t^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

解题步骤 4.4.2

从 $2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

解题步骤 4.4.3

从 $2 (t^{3}) + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

解题步骤 4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

解题步骤 4.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

解题步骤 4.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

解题步骤 5

由于 $y$ 在初始条件 $(2, 0)$ 中为非负，所以只考虑用 $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ 来求 $K$ 。将 $2$ 代入 $t$ ，将 $0$ 代入 $y$ 。

$0 = \sqrt{2 (2^{3} + K)}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$ 。

$\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$

解题步骤 6.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 (2^{3} + K)}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 (2^{3} + K)}$ 重写成 ${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简 ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

将 ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 (2^{3} + K))}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

${(2 (8 + K))}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2

运用分配律。

${(2 \cdot 8 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.3

乘。

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解题步骤 6.3.2.1.3.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

${(16 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.3.2

化简。

$16 + 2 K = 0^{2}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$16 + 2 K = 0$

解题步骤 6.4

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.4.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$2 K = - 16$

解题步骤 6.4.2

将 $2 K = - 16$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.1

将 $2 K = - 16$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

解题步骤 6.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

解题步骤 6.4.2.2.1.2

用 $K$ 除以 $1$ 。

$K = \frac{- 16}{2}$

解题步骤 6.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.3.1

用 $- 16$ 除以 $2$ 。

$K = - 8$

解题步骤 7

代入 $- 8$ 替换 $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $- 8$ 替换 $K$ 。

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 8)}$

解题步骤 7.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 2^{3})}$

解题步骤 7.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = t$ 和 $b = 2$ 。

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + t \cdot 2 + 2^{2}))}$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 \cdot t + 2^{2}))}$

解题步骤 7.4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 t + 4))}$

$y = \sqrt{2 (t - 2) (t^{2} + 2 t + 4)}$

微积分学 示例

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