微积分学示例

$(y + 4) d x + x d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(y + 4) d x$ 。

$x d y = - (y + 4) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x (y + 4)}$ 。

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

解题步骤 3.3

约去 $y + 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{x (y + 4)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

解题步骤 3.3.2

从 $x (y + 4)$ 中分解出因数 $y + 4$ 。

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

解题步骤 3.3.3

约去公因数。

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

解题步骤 3.3.4

重写表达式。

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

使 $u = y + 4$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.1.1

设 $u = y + 4$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $y + 4$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

解题步骤 4.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 4$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

解题步骤 4.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

解题步骤 4.2.1.1.4

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

使用 $y + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.3

化简。

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| y + 4 | | x |) = C$

解题步骤 5.3

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| (y + 4) x |) = C$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$\ln (| y x + 4 x |) = C$

解题步骤 5.5

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y x + 4 x |)} = e^{C}$

解题步骤 5.6

使用对数的定义将 $\ln (| y x + 4 x |) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = | y x + 4 x |$

解题步骤 5.7

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.7.1

将方程重写为 $| y x + 4 x | = e^{C}$ 。

$| y x + 4 x | = e^{C}$

解题步骤 5.7.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y x + 4 x = \pm e^{C}$

解题步骤 5.7.3

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$y x = \pm e^{C} - 4 x$

解题步骤 5.7.4

将 $y x = \pm e^{C} - 4 x$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 5.7.4.1

将 $y x = \pm e^{C} - 4 x$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 5.7.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.7.4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 5.7.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 5.7.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.7.4.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.4.3.1.1

约去公因数。

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 5.7.4.3.1.2

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} - 4$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \frac{C}{x} - 4$

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