微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 5 y = 7 x^{2}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 5$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 5 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{5 x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{5 x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{5 x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{5 x}$ 。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + e^{5 x} (5 y) = e^{5 x} (7 x^{2})$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{5 x} (7 x^{2})$

解题步骤 2.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$

解题步骤 2.4

将 $e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 y e^{5 x} = 7 x^{2} e^{5 x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = 7 x^{2} e^{5 x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{5 x} y = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$e^{5 x} y = 7 \int x^{2} e^{5 x} d x$

解题步骤 6.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{5 x}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

解题步骤 6.3.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

解题步骤 6.3.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x)$

解题步骤 6.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x)$

解题步骤 6.3.5

组合 $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ 和 $x$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x)$

解题步骤 6.4

由于 $\frac{2}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{5}$ 移到积分外。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x))$

解题步骤 6.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{5 x}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

解题步骤 6.6

化简。

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解题步骤 6.6.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

解题步骤 6.6.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

解题步骤 6.6.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x))$

解题步骤 6.7

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)))$

解题步骤 6.8

使 $u = 5 x$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.8.1

设 $u = 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.8.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 6.8.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 6.8.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 6.8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u))$

解题步骤 6.9

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u))$

解题步骤 6.10

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)))$

解题步骤 6.11

化简。

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解题步骤 6.11.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u))$

解题步骤 6.11.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u))$

解题步骤 6.12

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$

解题步骤 6.13

将 $7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$ 重写为 $7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$

解题步骤 6.14

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{5 x}}{125}) + C$

解题步骤 6.15

重新排序项。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{25} x e^{5 x} + \frac{2}{125} e^{5 x}) + C$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{2}{25}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{x \cdot 2}{25} \cdot e^{5 x} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

解题步骤 7.1.2

组合 $e^{5 x}$ 和 $\frac{x \cdot 2}{25}$ 。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

解题步骤 7.1.3

去掉圆括号。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

解题步骤 7.2

将 $e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ 中的每一项除以 $e^{5 x}$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ 中的每一项都除以 $e^{5 x}$ 。

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $e^{5 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.1.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1

从 $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ 中分解出因数 $e^{5 x}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.1

从 $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x}$ 中分解出因数 $e^{5 x}$ 。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2

从 $- \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25}$ 中分解出因数 $e^{5 x}$ 。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.3

从 $\frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ 中分解出因数 $e^{5 x}$ 。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.4

从 $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25})$ 中分解出因数 $e^{5 x}$ 。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.5

从 $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125}$ 中分解出因数 $e^{5 x}$ 。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 \cdot x}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.4

去掉多余的括号。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.5

要将 $\frac{x^{2}}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $25$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.1.1.6.1

将 $\frac{x^{2}}{5}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.6.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{25} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.8

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1.1.8.1

从 $x^{2} \cdot 5 - 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1.8.1.1

从 $x^{2} \cdot 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.8.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) + x \cdot - 2}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.8.1.3

从 $x (x \cdot 5) + x \cdot - 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5 - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.8.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.9

要将 $\frac{x (5 x - 2)}{25}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $125$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.1.1.10.1

将 $\frac{x (5 x - 2)}{25}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.10.2

将 $25$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{125} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.11

在公分母上合并分子。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{x (5 x - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.12

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1.1.12.1

运用分配律。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(x (5 x) + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.12.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.12.3

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.12.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1.12.4.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 (x \cdot x) - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.12.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.12.5

运用分配律。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{5 x^{2} \cdot 5 - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.12.6

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.12.7

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.13

合并指数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.13.1

组合 $\frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}$ 和 $7$ 。

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125} e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.13.2

组合 $\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7 e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.14

将 $7$ 移到 $25 x^{2} - 10 x + 2$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.3

合并。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.4

约去 $e^{5 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.4.1

约去公因数。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.4.2

重写表达式。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 1}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.1.5

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.2

要将 $\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ 。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.3

要将 $\frac{C}{e^{5 x}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{125}{125}$ 。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

解题步骤 7.2.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $125 e^{5 x}$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.4.1

将 $\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ 乘以 $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ 。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

解题步骤 7.2.3.4.2

将 $\frac{C}{e^{5 x}}$ 乘以 $\frac{125}{125}$ 。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{e^{5 x} \cdot 125}$

解题步骤 7.2.3.4.3

重新排序 $e^{5 x} \cdot 125$ 的因式。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.6.1

运用分配律。

$y = \frac{(7 (25 x^{2}) + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.2

化简。

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解题步骤 7.2.3.6.2.1

将 $25$ 乘以 $7$ 。

$y = \frac{(175 x^{2} + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.2.2

将 $- 10$ 乘以 $7$ 。

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.2.3

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 14) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.3

运用分配律。

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.4

将 $125$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + 125 C}{125 e^{5 x}}$

微积分学 示例

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