微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = - 4 e^{x - 8}$ , $y (8) = 8$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = - 4 e^{x - 8} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int - 4 e^{x - 8} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int - 4 e^{x - 8} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - 4 \int e^{x - 8} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = x - 8$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = x - 8$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $x - 8$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 8]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 2.3.2.1.4

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.3

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简。

$y + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5

使用 $x - 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = - 4 e^{x - 8} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - 4 e^{x - 8} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $8$ 代入 $x$ ，将 $8$ 代入 $y$ ，在 $y = - 4 e^{x - 8} + K$ 中求 $K$ 的值。

$8 = - 4 e^{8 - 8} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- 4 e^{8 - 8} + K = 8$ 。

$- 4 e^{8 - 8} + K = 8$

解题步骤 4.2

化简 $- 4 e^{8 - 8} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$- 4 e^{0} + K = 8$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 4 \cdot 1 + K = 8$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 + K = 8$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$K = 8 + 4$

解题步骤 4.3.2

将 $8$ 和 $4$ 相加。

$K = 12$

解题步骤 5

代入 $12$ 替换 $y = - 4 e^{x - 8} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $12$ 替换 $K$ 。

$y = - 4 e^{x - 8} + 12$

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