微积分学示例

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

解题步骤 1.1.1.2

将 $\frac{d y}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

解题步骤 1.1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.2.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 1 = - y^{2}$

解题步骤 1.1.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $x^{2} \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

解题步骤 1.1.3.2

对 $\frac{d y}{d x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

解题步骤 1.1.3.3

从 ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - y^{2} - 1$

解题步骤 1.1.3.4

从 $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ 中的每一项除以 $x^{2} + 1$ 并化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.2

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.4

从 $- (y^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.4.3.5.1

将 $- (y^{2} + 1)$ 重写为 $- 1 (y^{2} + 1)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (- \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $- \frac{1}{y^{2} + 1}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $y^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.3

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C_{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ 。

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

解题步骤 3.3

将 $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.2

用 $\arctan (x)$ 除以 $1$ 。

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

移动 $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $- 1 \cdot \arctan (y)$ 重写为 $- \arctan (y)$ 。

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

解题步骤 3.3.3.1.4

用 $K$ 除以 $1$ 。

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

解题步骤 3.4

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

解题步骤 3.5

将方程重写为 $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ 。

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

解题步骤 3.6

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $\arctan (y)$ 。

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

解题步骤 3.7

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

解题步骤 3.8

将 $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.8.1

将 $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.8.2

化简左边。

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解题步骤 3.8.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.8.2.2

用 $\arctan (y)$ 除以 $1$ 。

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.8.3

化简右边。

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解题步骤 3.8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.3.1.1

移动 $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.8.3.1.2

将 $- 1 \cdot \arctan (x)$ 重写为 $- \arctan (x)$ 。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.8.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

解题步骤 3.8.3.1.4

用 $K$ 除以 $1$ 。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

解题步骤 3.9

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

解题步骤 3.10

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

解题步骤 3.11

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $\arctan (y)$ 。

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

解题步骤 3.12

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

解题步骤 3.13

将 $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.13.1

将 $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.13.2

化简左边。

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解题步骤 3.13.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.13.2.2

用 $\arctan (y)$ 除以 $1$ 。

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.13.3

化简右边。

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解题步骤 3.13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.13.3.1.1

移动 $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.13.3.1.2

将 $- 1 \cdot \arctan (x)$ 重写为 $- \arctan (x)$ 。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 3.13.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

解题步骤 3.13.3.1.4

用 $K$ 除以 $1$ 。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

解题步骤 3.14

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

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