微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{9}{1 + x}$ , $y (0) = 7$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{9}{1 + x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{9}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{9}{1 + x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1 + x} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 1 + x$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 1 + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $1 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 9 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} = 9 (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简。

$y + C_{1} = 9 \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.5

使用 $1 + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = 9 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = 9 \ln (| 1 + x |) + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $7$ 代入 $y$ ，在 $y = 9 \ln (| 1 + x |) + C$ 中求 $C$ 的值。

$7 = 9 \ln (| 1 + 0 |) + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $9 \ln (| 1 + 0 |) + C = 7$ 。

$9 \ln (| 1 + 0 |) + C = 7$

解题步骤 4.2

化简 $9 \ln (| 1 + 0 |) + C$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$9 \ln (| 1 |) + C = 7$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$9 \ln (1) + C = 7$

解题步骤 4.2.2.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$9 \cdot 0 + C = 7$

解题步骤 4.2.2.3

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$0 + C = 7$

解题步骤 4.2.3

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$C = 7$

解题步骤 5

代入 $7$ 替换 $y = 9 \ln (| 1 + x |) + C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $7$ 替换 $C$ 。

$y = 9 \ln (| 1 + x |) + 7$

解题步骤 5.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $9 \ln (| 1 + x |)$ 。

$y = \ln ({| 1 + x |}^{9}) + 7$

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