微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 3$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.3.2.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ 重写为 $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

组合 $12$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

约去 $12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $3$ 代入 $y$ ，在 $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ 中求 $K$ 的值。

$3 = 4 \sin^{3} (0) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $4 \sin^{3} (0) + K = 3$ 。

$4 \sin^{3} (0) + K = 3$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $4 \sin^{3} (0) + K$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$4 \cdot 0^{3} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 \cdot 0 + K = 3$

解题步骤 4.2.1.1.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 + K = 3$

解题步骤 4.2.1.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = 3$

解题步骤 5

代入 $3$ 替换 $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $3$ 替换 $K$ 。

$y = 4 \sin^{3} (x) + 3$

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