微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot x - 3 \cdot y + 1$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $3 \cdot y$ 。

$\frac{d y}{d x} + 3 \cdot y = 2 \cdot x + 1$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 3$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 3 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{3 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{3 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{3 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 \cdot y) = e^{3 x} (2 \cdot x) + e^{3 x} \cdot 1$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 \cdot x) + e^{3 x} \cdot 1$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 1$

解题步骤 3.3.2

将 $e^{3 x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x}$

解题步骤 3.4

将 $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x}$ 中的因式重新排序。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x} + e^{3 x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x} + e^{3 x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} + e^{3 x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} + e^{3 x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.4.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x) + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)) + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.6

使 $u_{1} = 3 x$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.6.1

设 $u_{1} = 3 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.6.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 7.6.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 7.6.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 7.6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.7

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.8

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.9

化简。

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解题步骤 7.9.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.9.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.10

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{3 x} d x$

解题步骤 7.11

使 $u_{2} = 3 x$ 。然后使 $d u_{2} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.11.1

设 $u_{2} = 3 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.11.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 7.11.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 7.11.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 7.11.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 7.12

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

解题步骤 7.13

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.14

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 7.15

化简。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 7.16.1

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.16.2

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $e^{3 x}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$

解题步骤 8.1.2

去掉圆括号。

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$

解题步骤 8.2

将 $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$ 中的每一项除以 $e^{3 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{3 x}$ 。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $e^{3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.3.2.1

乘以 $\frac{1}{3} (x e^{3 x})$ 。

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解题步骤 8.2.3.2.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y = \frac{2 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.1.2

组合 $\frac{x}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$y = \frac{2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.2

运用分配律。

$y = \frac{2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{x e^{3 x}}{3}$ 。

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.4

乘以 $2 (- \frac{e^{3 x}}{9})$ 。

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解题步骤 8.2.3.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} - 2 \frac{e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{e^{3 x}}{9}$ 。

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + \frac{- 2 e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.5

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.3

要将 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 8.2.3.4.1

将 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.6

将 $- 2 e^{3 x}$ 和 $e^{3 x} \cdot 3$ 相加。

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解题步骤 8.2.3.6.1

将 $e^{3 x}$ 和 $3$ 重新排序。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{3 x} + 3 \cdot e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.6.2

将 $- 2 e^{3 x}$ 和 $3 \cdot e^{3 x}$ 相加。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.7.1

要将 $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 8.2.3.7.2.1

将 $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{9} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 + e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.4

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.7.4.1

从 $2 x e^{3 x} \cdot 3 + e^{3 x}$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

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解题步骤 8.2.3.7.4.1.1

从 $2 x e^{3 x} \cdot 3$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.4.1.2

乘以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.4.1.3

从 $e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3 + 1)}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.5

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + C \cdot \frac{9}{9}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.6

组合 $C$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + \frac{C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1) + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.8

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.7.8.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x) + e^{3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.8.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.8.3

将 $e^{3 x}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.8.4

将 $9$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9}}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.8

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.9

将 $\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9}$ 乘以 $\frac{1}{e^{3 x}}$ 。

$y = \frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.3.10

将 $\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{6 x e^{3 x} + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

微积分学 示例

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