微积分学示例

$x \cdot \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{1}{5} x^{2}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $x \cdot \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{1}{5} x^{2}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

解题步骤 1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

解题步骤 1.3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $\frac{1}{5} x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x}$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x^{1}}$

解题步骤 1.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x}{1}$

解题步骤 1.3.2.5

用 $\frac{1}{5} x$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{1}{5} x$

解题步骤 1.4

从 $\frac{3 y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = \frac{1}{5} x$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $\frac{3}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{1}{5} x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{3}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简。

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{3 \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{3})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{3}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $x^{3}$ 。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $y$ 。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

解题步骤 3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

解题步骤 3.2.2.3

重写表达式。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

解题步骤 3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{3} x$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $x$ 。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} (x \cdot x^{3})$

解题步骤 3.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} (x^{1} x^{3})$

解题步骤 3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{1 + 3}$

解题步骤 3.4.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{4}$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{x^{4}}{5}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = \frac{x^{4}}{5}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int \frac{x^{4}}{5} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$x^{3} y = \int \frac{x^{4}}{5} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$x^{3} y = \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

解题步骤 7.2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$x^{3} y = \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 7.3

化简答案。

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解题步骤 7.3.1

将 $\frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ 重写为 $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ 。

$x^{3} y = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

解题步骤 7.3.2

化简。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x^{3} y = \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

解题步骤 7.3.2.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$

解题步骤 8

将 $x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$ 中的每一项除以 $x^{3}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$ 中的每一项都除以 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $x^{5}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

从 $\frac{1}{25} x^{5}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{\frac{1}{25} x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.4

用 $\frac{1}{25} x^{2}$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{25} x^{2} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 8.3.1.2

组合 $\frac{1}{25}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{25} + \frac{C}{x^{3}}$

微积分学 示例

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