微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $e^{3 y + 9}$ 。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} (\frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

合并。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $e^{3 y + 9}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $x^{2} e^{3 y + 9}$ 中分解出因数 $e^{3 y + 9}$ 。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$e^{3 y + 9} d y = \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int e^{3 y + 9} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 3 y + 9$ 。然后使 $d u = 3 d y$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 3 y + 9$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $3 y + 9$ 求导。

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $3 y + 9$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ 。

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

解题步骤 2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [3 y]$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

因为 $9$ 对于 $y$ 是常数，所以 $9$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $3 y + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- x^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $4 (- x^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - 4 \frac{1}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{- 4}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - \frac{4}{x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = - \frac{4}{x} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 y + 9}$ 。

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (- \frac{4}{x} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

运用分配律。

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x}) + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.2

乘以 $3 (- \frac{4}{x})$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$e^{3 y + 9} = - 3 \frac{4}{x} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{4}{x}$ 。

$e^{3 y + 9} = \frac{- 3 \cdot 4}{x} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.2.3

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$e^{3 y + 9} = \frac{- 12}{x} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$e^{3 y + 9} = - \frac{12}{x} + 3 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

解题步骤 3.4

展开左边。

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解题步骤 3.4.1

通过将 $3 y + 9$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{3 y + 9})$ 。

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

解题步骤 3.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

解题步骤 3.4.3

将 $3 y + 9$ 乘以 $1$ 。

$3 y + 9 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

解题步骤 3.5

从等式两边同时减去 $9$ 。

$3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$

解题步骤 3.6

将 $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

解题步骤 3.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

解题步骤 3.6.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.3.1

用 $- 9$ 除以 $3$ 。

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} - 3$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + K)}{3} - 3$

微积分学 示例

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