微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y + 1$ 。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x}{y + 1}$

解题步骤 1.2.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x^{1}}{y + 1}$

解题步骤 1.2.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x \cdot 1}{y + 1}$

解题步骤 1.2.1.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

解题步骤 1.2.2

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x (x + 1)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 1$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 1$

解题步骤 1.2.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(y + 1) d y = (x^{2} + x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y + 1 d y = \int x^{2} + x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int d y = \int x^{2} + x d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} + x d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} + x d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} + x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int x d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + K$

解题步骤 3.3

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{2} + K$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} = K$

解题步骤 3.3.3

从等式两边同时减去 $K$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

解题步骤 3.4

全部乘以最小公分母 $6$ ，然后化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$6 (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2

化简。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3) (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.1.2

约去公因数。

$2 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.1.3

重写表达式。

$3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $- \frac{x^{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.2.3

约去公因数。

$3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.2.4

重写表达式。

$3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.4.1

将 $- \frac{x^{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.4.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 (3) (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.4.3

约去公因数。

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 \cdot (3 (\frac{- x^{2}}{2})) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.4.4

重写表达式。

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 3 (- x^{2}) + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 (- K) = 0$

解题步骤 3.4.2.6

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K = 0$

解题步骤 3.4.3

移动 $6 y$ 。

$3 y^{2} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

解题步骤 3.4.4

将 $3 y^{2}$ 和 $- 2 x^{3}$ 重新排序。

$- 2 x^{3} + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

解题步骤 3.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.6

将 $a = 3$ 、 $b = 6$ 和 $c = - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 (- 2 x^{3}) - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.4

化简。

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解题步骤 3.7.1.4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.4.2

将 $- 3$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.4.3

将 $- 6$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.5

从 $36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 3.7.1.5.1

从 $36$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.5.2

从 $24 x^{3}$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.5.3

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.5.4

从 $72 K$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.5.5

从 $12 (3) + 12 (2 x^{3})$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.5.6

从 $12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2})$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.5.7

从 $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.6

将 $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)$ 重写为 $2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))$ 。

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解题步骤 3.7.1.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.6.3

添加圆括号。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.1.7

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$

解题步骤 3.7.3

化简 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$ 。

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

解题步骤 3.8

最终答案为两个解的组合。

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$

微积分学 示例

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