微积分学示例

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $e^{x} + 2 x e^{- y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $e^{x}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x e^{- y}$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = - y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

解题步骤 1.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- y}$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

解题步骤 1.3.7

将 $- 1 e^{- y}$ 重写为 $- e^{- y}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

解题步骤 1.3.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

从 $0$ 中减去 $2 x e^{- y}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

解题步骤 1.4.2

重新排序 $- 2 x e^{- y}$ 的因式。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

解题步骤 1.4.3

将 $- 2 e^{- y} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $e^{x} + e^{- y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

解题步骤 2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $e^{- y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $e^{- y}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 2 x e^{- y}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $e^{x}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $e^{x}$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $- 2 x e^{- y}$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $e^{x} + 2 x e^{- y}$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $e^{x} + 2 x e^{- y}$ 替换 $M$ 。

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

解题步骤 4.3.3

代入 $e^{x} + 2 x e^{- y}$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$1$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int d y}$ 。

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解题步骤 5.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{y + C}$

解题步骤 5.2

化简。

$μ (x, y) = e^{y} + C$

解题步骤 6

在 $(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{y}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $e^{x} + 2 x e^{- y}$ 乘以 $e^{y}$ 。

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

解题步骤 6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

解题步骤 6.4

通过指数相加将 $e^{- y}$ 乘以 $e^{y}$ 。

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解题步骤 6.4.1

移动 $e^{y}$ 。

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

解题步骤 6.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

解题步骤 6.4.3

从 $y$ 中减去 $y$ 。

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

解题步骤 6.5

化简 $2 x e^{0}$ 。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $e^{x} + e^{- y}$ 乘以 $e^{y}$ 。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

解题步骤 6.7

运用分配律。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

解题步骤 6.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

解题步骤 6.9

通过指数相加将 $e^{- y}$ 乘以 $e^{y}$ 。

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解题步骤 6.9.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

解题步骤 6.9.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

解题步骤 6.10

化简 $e^{0}$ 。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = e^{x + y} + 1$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

解题步骤 8.2

使 $u = x + y$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.2.1

设 $u = x + y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $x + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 8.2.1.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 8.2.1.3

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 8.2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 8.2.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

解题步骤 8.3

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

解题步骤 8.4

应用常数不变法则。

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

解题步骤 8.5

化简。

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

解题步骤 8.6

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $e^{x + y} + y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x + y$ 。

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解题步骤 11.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.3.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.3.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.3.4

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.3.6

将 $e^{x + y}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.4

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.5

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.6

化简。

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解题步骤 11.6.1

将 $e^{x + y}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 11.6.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $e^{x + y}$ 。

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

解题步骤 12.1.2

合并 $e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.2.1

从 $e^{x + y}$ 中减去 $e^{x + y}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

解题步骤 12.1.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

解题步骤 13

求 $2 x$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = 2 x$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 2 x d x$

解题步骤 13.3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$g (x) = 2 \int x d x$

解题步骤 13.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 13.5

化简答案。

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解题步骤 13.5.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 13.5.2

化简。

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解题步骤 13.5.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 13.5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.2.2.1

约去公因数。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 13.5.2.2.2

重写表达式。

$g (x) = 1 x^{2} + C$

解题步骤 13.5.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$g (x) = x^{2} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$

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