微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x - 1$ , $f (0) = - 3$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (x^{4} - x^{3} + x - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - \int x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.7

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5}$

解题步骤 2.3.8

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $- 3$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ 中求 $K$ 的值。

$- 3 = \frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$ 。

$\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2

化简 $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.1.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.1.4

乘以 $- \frac{1}{4} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 0 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.1.4.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.1.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 - 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 + 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.2

合并 $0 + 0 + 0 + 0 + K$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 + 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + K = - 3$

解题步骤 4.2.2.4

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = - 3$

解题步骤 5

代入 $- 3$ 替换 $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 3$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

解题步骤 5.2.2

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

解题步骤 5.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - x - 3$

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