微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt{2 x - 1}$

解题步骤 1

两边对 $x$ 积分。

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解题步骤 1.1

一阶导数等于二阶导数对 $x$ 的积分。

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{2 x - 1} d x$

解题步骤 1.2

使 $u_{1} = 2 x - 1$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.2.1

设 $u_{1} = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 1.2.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.2.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.2.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 1.3

组合 $\sqrt{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 1.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 1.5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 1.6

根据幂法则， ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

解题步骤 1.7.2

化简。

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解题步骤 1.7.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

解题步骤 1.7.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

解题步骤 1.7.2.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1)}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

解题步骤 1.7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

解题步骤 1.7.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

解题步骤 1.7.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

解题步骤 1.8

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

解题步骤 2

重写该方程。

$d y = (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}) d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

解题步骤 3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.2

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.3

使 $u_{2} = 2 x - 1$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.3.3.1

设 $u_{2} = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 3.3.3.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.3.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 3.3.3.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 3.3.3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.4

组合 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.6

化简。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.7

根据幂法则， ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ 。

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.8

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

解题步骤 3.3.9

化简。

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解题步骤 3.3.9.1

化简。

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.9.2

化简。

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解题步骤 3.3.9.2.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{2}{5}$ 。

$y + C_{2} = \frac{2}{6 \cdot 5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.9.2.2

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$y + C_{2} = \frac{2}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.9.2.3

约去 $2$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.9.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{2} = \frac{2 (1)}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.9.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.9.2.3.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.9.2.3.2.2

约去公因数。

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.9.2.3.2.3

重写表达式。

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.10

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C x + D$

微积分学 示例

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