微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x f (x) - 16 (f x)}{x^{17}}$

解题步骤 1

重写微分方程。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$

解题步骤 2

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

分解分数 $\frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{17}} + \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

解题步骤 2.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{x y}{x^{17}}$ 。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

解题步骤 2.2

用分离出来的系数重写方程。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 2.3

从 $- \frac{x y}{x^{17}}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{17}}) = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 2.4

将 $y$ 和 $- \frac{x}{x^{17}}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{17}} y = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 3

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{x}{x^{17}}$ 。

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解题步骤 3.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{x}{x^{17}} d x}$

解题步骤 3.2

对 $- \frac{x}{x^{17}}$ 积分。

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解题步骤 3.2.1

约去 $x$ 和 $x^{17}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{\int - \frac{x^{1}}{x^{17}} d x}$

解题步骤 3.2.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x^{17}} d x}$

解题步骤 3.2.1.3

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1.3.1

从 $x^{17}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

解题步骤 3.2.1.3.2

约去公因数。

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

解题步骤 3.2.1.3.3

重写表达式。

$e^{\int - \frac{1}{x^{16}} d x}$

解题步骤 3.2.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{x^{16}} d x}$

解题步骤 3.2.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.3.1

通过将 $x^{16}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$e^{- \int {(x^{16})}^{- 1} d x}$

解题步骤 3.2.3.2

将 ${(x^{16})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{- \int x^{16 \cdot - 1} d x}$

解题步骤 3.2.3.2.2

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- \int x^{- 16} d x}$

解题步骤 3.2.4

根据幂法则， $x^{- 16}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{15} x^{- 15}$ 。

$e^{- (- \frac{1}{15} x^{- 15} + C)}$

解题步骤 3.2.5

化简答案。

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解题步骤 3.2.5.1

化简。

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解题步骤 3.2.5.1.1

组合 $x^{- 15}$ 和 $\frac{1}{15}$ 。

$e^{- (- \frac{x^{- 15}}{15} + C)}$

解题步骤 3.2.5.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 15}$ 移动到分母。

$e^{- (- \frac{1}{15 x^{15}} + C)}$

解题步骤 3.2.5.2

化简。

$e^{- - \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

解题步骤 3.2.5.3

化简。

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解题步骤 3.2.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{1 \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

解题步骤 3.2.5.3.2

将 $\frac{1}{15 x^{15}}$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}} + C}$

解题步骤 3.3

去掉积分常数。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$

解题步骤 4

每一项乘以积分因数 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 。

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解题步骤 4.1

每一项乘以 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 4.2.2

约去 $x$ 和 $x^{17}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x^{1}}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

从 $x^{17}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 4.2.2.3.2

约去公因数。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 4.2.2.3.3

重写表达式。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{1}{x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{1}{x^{16}}$ 和 $y$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{y}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 4.2.4

组合 $\frac{y}{x^{16}}$ 和 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

解题步骤 4.3

约去 $x$ 和 $x^{17}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $- 16 f x$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x^{17}}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $x^{17}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f}{x^{16}}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{16 f}{x^{16}})$

解题步骤 4.5

使用乘法的交换性质重写。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{16 f}{x^{16}}$

解题步骤 4.6

组合 $\frac{16 f}{x^{16}}$ 和 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

解题步骤 5

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

解题步骤 6

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] d x = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

解题步骤 7

对左边积分。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

解题步骤 8

对右边积分。

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解题步骤 8.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - \int \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

解题步骤 8.2

由于 $16 f$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16 f$ 移到积分外。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - (16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x)$

解题步骤 8.3

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

解题步骤 8.4

使 $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{x^{16}} d x$ ，以便 $- d u = \frac{1}{x^{16}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.4.1

设 $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.4.1.1

对 $\frac{1}{15 x^{15}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15 x^{15}}]$

解题步骤 8.4.1.2

因为 $\frac{1}{15}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{15 x^{15}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$ 。

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$

解题步骤 8.4.1.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.4.1.3.1

将 $\frac{1}{x^{15}}$ 重写为 ${(x^{15})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{15})}^{- 1}]$

解题步骤 8.4.1.3.2

将 ${(x^{15})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.4.1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{15 \cdot - 1}]$

解题步骤 8.4.1.3.2.2

将 $15$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 15}]$

解题步骤 8.4.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 15$ 。

$\frac{1}{15} (- 15 x^{- 16})$

解题步骤 8.4.1.5

化简项。

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解题步骤 8.4.1.5.1

组合 $- 15$ 和 $\frac{1}{15}$ 。

$\frac{- 15}{15} x^{- 16}$

解题步骤 8.4.1.5.2

组合 $\frac{- 15}{15}$ 和 $x^{- 16}$ 。

$\frac{- 15 x^{- 16}}{15}$

解题步骤 8.4.1.5.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 16}$ 移动到分母。

$\frac{- 15}{15 x^{16}}$

解题步骤 8.4.1.5.4

约去 $- 15$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1.5.4.1

从 $- 15$ 中分解出因数 $15$ 。

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

解题步骤 8.4.1.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 8.4.1.5.4.2.1

从 $15 x^{16}$ 中分解出因数 $15$ 。

$\frac{15 \cdot - 1}{15 (x^{16})}$

解题步骤 8.4.1.5.4.2.2

约去公因数。

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

解题步骤 8.4.1.5.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{x^{16}}$

解题步骤 8.4.1.5.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{x^{16}}$

解题步骤 8.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int - e^{u} d u$

解题步骤 8.5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f (- \int e^{u} d u)$

解题步骤 8.6

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f \int e^{u} d u$

解题步骤 8.7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f (e^{u} + C)$

解题步骤 8.8

化简。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{u} + C$

解题步骤 8.9

使用 $\frac{1}{15 x^{15}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$

解题步骤 9

将 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ 中的每一项除以 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 并化简。

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解题步骤 9.1

将 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ 中的每一项都除以 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 。

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

解题步骤 9.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.1

约去 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

解题步骤 9.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

解题步骤 9.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.1

约去 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1

约去公因数。

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

解题步骤 9.3.1.2

用 $16 f$ 除以 $1$ 。

$y = 16 f + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

微积分学 示例

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