微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y + x^{2} y}{x - 4 x y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $3 y + x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + x^{2} y}{x - 4 x y}$

解题步骤 1.1.2

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + y x^{2}}{x - 4 x y}$

解题步骤 1.1.3

从 $y \cdot 3 + y x^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

解题步骤 1.1.4

将 $y$ 乘以 $3 + x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

解题步骤 1.2

从 $x - 4 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x^{1} - 4 x y}$

解题步骤 1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 - 4 x y}$

解题步骤 1.2.3

从 $- 4 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 + x (- 4 y)}$

解题步骤 1.2.4

从 $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot (1 - 4 y)}$

解题步骤 1.2.5

将 $x$ 乘以 $1 - 4 y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x (1 - 4 y)}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{1 - 4 y}{y}$ 。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} (\frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{y}{1 - 4 y}$ 乘以 $\frac{3 + x^{2}}{x}$ 。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

解题步骤 1.5.2

约去 $1 - 4 y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $(1 - 4 y) x$ 中分解出因数 $1 - 4 y$ 。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) (x)}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

解题步骤 1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

解题步骤 1.5.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

解题步骤 1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 + x^{2}}{x}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{1 - 4 y}{y} d y = \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1 - 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.2.3.2

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.2.5

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} - 4 y + C_{2} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

$\ln (| y |) - 4 y + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.2.7

重新排序项。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将分数分解成多个分数。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

解题步骤 2.3.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

解题步骤 2.3.3.2.3

约去公因数。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

解题步骤 2.3.3.2.4

重写表达式。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

解题步骤 2.3.3.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int x d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \int x d x$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

解题步骤 2.3.7

化简。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

解题步骤 2.3.8

重新排序项。

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- 4 y + \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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