微积分学示例

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

重写。

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y^{3} + 2 t$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $y^{3} + 2 t$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

解题步骤 2.4

因为 $2 t$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

解题步骤 2.5

将 $3 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 3 y^{2} t$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

解题步骤 3.2

因为 $3 y^{2} t$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y^{2} t$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $3 y^{2}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $0$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$3 y^{2} = 0$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$3 y^{2} = 0$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $3 y^{2}$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 5.2

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

解题步骤 5.3

代入 $3 y^{2} t$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $3 y^{2} t$ 替换 $N$ 。

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

解题步骤 5.3.2

约去 $3 y^{2} + 0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $3 y^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

解题步骤 5.3.2.2

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

解题步骤 5.3.2.3

从 $3 (y^{2}) + 3 (0)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

解题步骤 5.3.2.4

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

从 $3 y^{2} t$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

解题步骤 5.3.2.4.2

约去公因数。

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

解题步骤 5.3.2.4.3

重写表达式。

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

解题步骤 5.3.3

将 $y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

解题步骤 5.3.4

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

解题步骤 5.3.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{t}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ 。

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解题步骤 6.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

解题步骤 6.2

化简答案。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{1}{t}$ 和 $x$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

解题步骤 6.2.2

化简。

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

解题步骤 7

在 $(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{\frac{x}{t}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $y^{3} + 2 t$ 乘以 $e^{\frac{x}{t}}$ 。

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $3 y^{2} t$ 乘以 $e^{\frac{x}{t}}$ 。

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

解题步骤 9

对 $N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $3 t e^{\frac{x}{t}}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3 t e^{\frac{x}{t}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

解题步骤 9.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

解题步骤 9.3

化简答案。

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解题步骤 9.3.1

将 $3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ 重写为 $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ 。

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

解题步骤 9.3.2

化简。

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解题步骤 9.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

解题步骤 9.3.2.2

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $t$ 。

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

解题步骤 9.3.2.3

组合 $\frac{3 t}{3}$ 和 $e^{\frac{x}{t}}$ 。

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

解题步骤 9.3.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.4.1

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

解题步骤 9.3.2.4.2

用 $t e^{\frac{x}{t}}$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

解题步骤 10

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $t y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ 。

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{t}$ 。

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解题步骤 12.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{t}$ 。

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3.2.3

使用 $\frac{x}{t}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3.3

因为 $\frac{1}{t}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{t}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3.5

将 $\frac{1}{t}$ 乘以 $1$ 。

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3.6

组合 $e^{\frac{x}{t}}$ 和 $\frac{1}{t}$ 。

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3.7

组合 $t$ 和 $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ 。

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3.8

组合 $y^{3}$ 和 $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ 。

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3.9

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.9.1

约去公因数。

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.3.9.2

用 $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 12.5.2

将 $\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 13.1.1

从等式两边同时减去 $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ 。

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 13.1.2

合并 $y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.2.1

从 $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ 中减去 $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

解题步骤 13.1.2.2

将 $2 t e^{\frac{x}{t}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

解题步骤 14

求 $2 t e^{\frac{x}{t}}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

解题步骤 14.3

由于 $2 t$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2 t$ 移到积分外。

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

解题步骤 14.4

使 $u = \frac{x}{t}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{t} d x$ ，以便 $t d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 14.4.1

设 $u = \frac{x}{t}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 14.4.1.1

对 $\frac{x}{t}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

解题步骤 14.4.1.2

因为 $\frac{1}{t}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{t}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 14.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{t} \cdot 1$

解题步骤 14.4.1.4

将 $\frac{1}{t}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{t}$

解题步骤 14.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

解题步骤 14.5

化简。

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解题步骤 14.5.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{t}$ 。

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

解题步骤 14.5.2

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

解题步骤 14.6

由于 $t$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $t$ 移到积分外。

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

解题步骤 14.7

化简。

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解题步骤 14.7.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

解题步骤 14.7.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

解题步骤 14.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

解题步骤 14.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 14.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

解题步骤 14.9

化简。

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

解题步骤 14.10

使用 $\frac{x}{t}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

解题步骤 16

将 $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

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