微积分学示例

$2 x y + 4 x + (x^{2} - 9) \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$2 x y + 4 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1.1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.2.1

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$4 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

解题步骤 1.1.2.2

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $x^{2} \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} - 9 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$

解题步骤 1.1.3.2

从 $- 9 \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 9 = - 2 x y - 4 x$

解题步骤 1.1.3.3

从 $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 9$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 9) = - 2 x y - 4 x$

解题步骤 1.1.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 3^{2}) = - 2 x y - 4 x$

解题步骤 1.1.5

因数。

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解题步骤 1.1.5.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{d y}{d x} ((x + 3) (x - 3)) = - 2 x y - 4 x$

解题步骤 1.1.5.2

去掉多余的括号。

$\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3) = - 2 x y - 4 x$

解题步骤 1.1.6

将 $\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3) = - 2 x y - 4 x$ 中的每一项除以 $(x + 3) (x - 3)$ 并化简。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3) = - 2 x y - 4 x$ 中的每一项都除以 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.1.6.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.6.2.1

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.1.6.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 3)}{x - 3} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.1.6.2.2

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 3)}{x - 3} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.1.6.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.1.6.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.1.6.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $- \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $- \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}) - \frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.2.1.2

从 $- \frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}) - (\frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)})$

解题步骤 1.2.1.3

从 $- (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}) - (\frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)})$

解题步骤 1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y + 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.2.3

从 $2 x y + 4 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.2.3.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 2 x (2)}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.2.3.3

从 $2 x (y) + 2 x (2)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y + 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 2)$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{1}{y + 2}$ 。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} (- \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 2))$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 2} (\frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 2))$

解题步骤 1.5.2

约去 $y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $- \frac{1}{y + 2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} (\frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 2))$

解题步骤 1.5.2.2

从 $\frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 2)$ 中分解出因数 $y + 2$ 。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} ((y + 2) \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)})$

解题步骤 1.5.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} ((y + 2) \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)})$

解题步骤 1.5.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = y + 2$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = y + 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 2$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y + 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

解题步骤 2.3.4

使 $u_{2} = (x + 3) (x - 3)$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.4.1

设 $u_{2} = (x + 3) (x - 3)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

对 $(x + 3) (x - 3)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

解题步骤 2.3.4.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 3$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.4.1.3

求微分。

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解题步骤 2.3.4.1.3.1

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.4.1.3.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.4.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.4.1.3.4.2

将 $x + 3$ 乘以 $1$ 。

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.4.1.3.5

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.3.4.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.3.4.1.3.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

解题步骤 2.3.4.1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.3.4.1.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

解题步骤 2.3.4.1.3.8.2

将 $x - 3$ 乘以 $1$ 。

$x + 3 + x - 3$

解题步骤 2.3.4.1.3.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x + 3 - 3$

解题步骤 2.3.4.1.3.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.3.4.1.3.8.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.4.1.3.8.4.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2.2

约去公因数。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2.3

重写表达式。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.9

化简。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.10

使用 $(x + 3) (x - 3)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 2 |) = - \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y + 2 |) + \ln (| (x + 3) (x - 3) |) = C$

解题步骤 3.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| y + 2 | | (x + 3) (x - 3) |) = C$

解题步骤 3.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\ln (| y + 2 | | x (x - 3) + 3 (x - 3) |) = C$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\ln (| y + 2 | | x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |) = C$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$\ln (| y + 2 | | x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |) = C$

解题步骤 3.4

化简项。

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解题步骤 3.4.1

合并 $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 3.4.1.1

按照 $x \cdot - 3$ 和 $3 x$ 重新排列因数。

$\ln (| y + 2 | | x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |) = C$

解题步骤 3.4.1.2

将 $- 3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\ln (| y + 2 | | x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |) = C$

解题步骤 3.4.1.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| y + 2 | | x \cdot x + 3 \cdot - 3 |) = C$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (| y + 2 | | x^{2} + 3 \cdot - 3 |) = C$

解题步骤 3.4.2.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\ln (| y + 2 | | x^{2} - 9 |) = C$

解题步骤 3.5

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| (y + 2) (x^{2} - 9) |) = C$

解题步骤 3.6

使用 FOIL 方法展开 $(y + 2) (x^{2} - 9)$ 。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$\ln (| y (x^{2} - 9) + 2 (x^{2} - 9) |) = C$

解题步骤 3.6.2

运用分配律。

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 9 + 2 (x^{2} - 9) |) = C$

解题步骤 3.6.3

运用分配律。

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 9 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 9 |) = C$

解题步骤 3.7

化简每一项。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 9$ 移到 $y$ 的左侧。

$\ln (| y x^{2} - 9 \cdot y + 2 x^{2} + 2 \cdot - 9 |) = C$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$\ln (| y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 |) = C$

解题步骤 3.8

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 |)} = e^{C}$

解题步骤 3.9

使用对数的定义将 $\ln (| y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 |) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = | y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 |$

解题步骤 3.10

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.10.1

将方程重写为 $| y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 | = e^{C}$ 。

$| y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 | = e^{C}$

解题步骤 3.10.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 = \pm e^{C}$

解题步骤 3.10.3

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.10.3.1

从等式两边同时减去 $2 x^{2}$ 。

$y x^{2} - 9 y - 18 = \pm e^{C} - 2 x^{2}$

解题步骤 3.10.3.2

在等式两边都加上 $18$ 。

$y x^{2} - 9 y = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

解题步骤 3.10.4

从 $y x^{2} - 9 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.10.4.1

从 $y x^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x^{2}) - 9 y = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

解题步骤 3.10.4.2

从 $- 9 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x^{2}) + y \cdot - 9 = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

解题步骤 3.10.4.3

从 $y (x^{2}) + y \cdot - 9$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x^{2} - 9) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

解题步骤 3.10.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$y (x^{2} - 3^{2}) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

解题步骤 3.10.6

因数。

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解题步骤 3.10.6.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$y ((x + 3) (x - 3)) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

解题步骤 3.10.6.2

去掉多余的括号。

$y (x + 3) (x - 3) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

解题步骤 3.10.7

将 $y (x + 3) (x - 3) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$ 中的每一项除以 $(x + 3) (x - 3)$ 并化简。

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解题步骤 3.10.7.1

将 $y (x + 3) (x - 3) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$ 中的每一项都除以 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.10.7.2

化简左边。

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解题步骤 3.10.7.2.1

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.10.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.10.7.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.10.7.2.2

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.10.7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.10.7.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.10.7.3

化简右边。

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解题步骤 3.10.7.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{C}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

微积分学 示例

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