微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{2} - 3 x + 6$

解题步骤 1

假设所有解都为 $y = e^{r x}$ 形式。

解题步骤 2

求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{2} - 3 x + 6$ 的特征方程。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

解题步骤 2.3

代入微分方程。

$r^{2} e^{r x} + 4 (r e^{r x}) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

解题步骤 2.4

去掉圆括号。

$r^{2} e^{r x} + 4 r e^{r x} - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

解题步骤 2.5

因式分解出 $e^{r x}$ 。

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解题步骤 2.5.1

从 $r^{2} e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} + 4 r e^{r x} - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

解题步骤 2.5.2

从 $4 r e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

解题步骤 2.5.3

从 $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r)$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

解题步骤 2.5.4

从 $- 2 e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot - 2 = 2 x^{2} - 3 x + 6$

解题步骤 2.5.5

从 $e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot - 2$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} + 4 r - 2) = 2 x^{2} - 3 x + 6$

解题步骤 2.6

由于指数永远不可能为零，在两边同时除以 $e^{r x}$ 。

$r^{2} + 4 r - 2 = 2 x^{2} - 3 x + 6$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 3.1.1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.1.1.1

从等式两边同时减去 $2 x^{2}$ 。

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} = - 3 x + 6$

解题步骤 3.1.1.2

在等式两边都加上 $3 x$ 。

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} + 3 x = 6$

解题步骤 3.1.1.3

从等式两边同时减去 $6$ 。

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} + 3 x - 6 = 0$

解题步骤 3.1.2

从 $- 2$ 中减去 $6$ 。

$r^{2} + 4 r - 2 x^{2} + 3 x - 8 = 0$

解题步骤 3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3

将 $a = 1$ 、 $b = 4$ 和 $c = - 2 x^{2} + 3 x - 8$ 的值代入二次公式中并求解 $r$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.3

运用分配律。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.4

化简。

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解题步骤 3.4.1.4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.4.2

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.4.3

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.5

将 $16$ 和 $32$ 相加。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.6

从 $8 x^{2} - 12 x + 48$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.4.1.6.1

从 $8 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.6.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.6.3

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.6.4

从 $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.6.5

从 $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.8

从根式下提出各项。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

解题步骤 3.4.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ 。

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.3

运用分配律。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.4

化简。

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解题步骤 3.5.1.4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.4.2

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.4.3

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.5

将 $16$ 和 $32$ 相加。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.6

从 $8 x^{2} - 12 x + 48$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.5.1.6.1

从 $8 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.6.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.6.3

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.6.4

从 $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.6.5

从 $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.8

从根式下提出各项。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

解题步骤 3.5.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ 。

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 3.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 3.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.3

运用分配律。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4

化简。

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解题步骤 3.6.1.4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4.2

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4.3

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5

将 $16$ 和 $32$ 相加。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.6

从 $8 x^{2} - 12 x + 48$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.6.1.6.1

从 $8 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.6.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.6.3

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.6.4

从 $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.6.5

从 $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.8

从根式下提出各项。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ 。

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 3.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 3.7

最终答案为两个解的组合。

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 4

使用求到的两个 $r$ 值，可以构建两个解。

$y_{1} = e^{(- 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

$y_{2} = e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

解题步骤 5

根据叠加原理，二阶齐次线性微分方程的通解是其两个解的线性组合。

$y = c_{1} e^{(- 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x} + c_{2} e^{- 2 x - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x}$

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