微积分学示例

$\frac{d P}{d t} = 500 - 0.12 P$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{500 - 0.12 P}$ 。

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

解题步骤 1.2

约去 $500 - 0.12 P$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{500 - 0.12 P} d P = 1 d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{500 - 0.12 P} d P = \int d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 500 - 0.12 P$ 。然后使 $d u = - 0.12 d P$ ，以便 $\frac{1}{- 0.12} d u = d P$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 500 - 0.12 P$ 。求 $\frac{d u}{d P}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $500 - 0.12 P$ 求导。

$\frac{d}{d P} [500 - 0.12 P]$

解题步骤 2.2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

根据加法法则， $500 - 0.12 P$ 对 $P$ 的导数是 $\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ 。

$\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

因为 $500$ 对于 $P$ 是常数，所以 $500$ 对 $P$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

解题步骤 2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

因为 $- 0.12$ 对于 $P$ 是常数，所以 $- 0.12 P$ 对 $P$ 的导数是 $- 0.12 \frac{d}{d P} [P]$ 。

$0 - 0.12 \frac{d}{d P} [P]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ 等于 $n P^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 0.12 \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $- 0.12$ 乘以 $1$ 。

$0 - 0.12$

解题步骤 2.2.1.1.4

从 $0$ 中减去 $0.12$ 。

$- 0.12$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.12} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.12}) d u = \int d t$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{0.12}$ 。

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.12} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.2.3

将 $0.12$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{0.12}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{0.12}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{0.12} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1})$ 重写为 $- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1}$ 。

$- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $8.\overline{3}$ 。

$- 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.7

使用 $500 - 0.12 P$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$

解题步骤 3

求解 $P$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ 中的每一项除以 $- 8.\overline{3}$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ 中的每一项都除以 $- 8.\overline{3}$ 。

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $- 8.\overline{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $\ln (| 500 - 0.12 P |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.3.1.2

乘以 $1$ 。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.3.1.3

从 $8.\overline{3}$ 中分解出因数 $8.\overline{3}$ 。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3} (1)} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.3.1.4

分离分数。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.3.1.5

用 $1$ 除以 $8.\overline{3}$ 。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.3.1.6

用 $t$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 t) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.3.1.7

将 $0.12$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.3.1.8

将负号移到分数的前面。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{C}{8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.3.1.9

乘以 $1$ 。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3}}$

解题步骤 3.1.3.1.10

从 $8.\overline{3}$ 中分解出因数 $8.\overline{3}$ 。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3} (1)}$

解题步骤 3.1.3.1.11

分离分数。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{C}{1})$

解题步骤 3.1.3.1.12

用 $1$ 除以 $8.\overline{3}$ 。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 \frac{C}{1})$

解题步骤 3.1.3.1.13

用 $C$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 C)$

解题步骤 3.1.3.1.14

将 $0.12$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$

解题步骤 3.2

要求解 $P$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 500 - 0.12 P |)} = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 0.12 t - 0.12 C} = | 500 - 0.12 P |$

解题步骤 3.4

求解 $P$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ 。

$| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

解题步骤 3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$500 - 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

解题步骤 3.4.3

从等式两边同时减去 $500$ 。

$- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$

解题步骤 3.4.4

将 $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ 中的每一项除以 $- 0.12$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ 中的每一项都除以 $- 0.12$ 。

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $- 0.12$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $P$ 除以 $1$ 。

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.3.1.1

化简 $\frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12}$ 。

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

解题步骤 3.4.4.3.1.2

乘以 $1$ 。

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

解题步骤 3.4.4.3.1.3

从 $0.12$ 中分解出因数 $0.12$ 。

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12 (1)} + \frac{- 500}{- 0.12}$

解题步骤 3.4.4.3.1.4

分离分数。

$P = \frac{1}{0.12} \cdot \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

解题步骤 3.4.4.3.1.5

用 $1$ 除以 $0.12$ 。

$P = 8.\overline{3} \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

解题步骤 3.4.4.3.1.6

用 $\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ 除以 $1$ 。

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + \frac{- 500}{- 0.12}$

解题步骤 3.4.4.3.1.7

用 $- 500$ 除以 $- 0.12$ 。

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + 4166.\overline{6}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t + C}) + 4166.\overline{6}$

解题步骤 4.2

将 $e^{- 0.12 t + C}$ 重写为 $e^{- 0.12 t} e^{C}$ 。

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t} e^{C}) + 4166.\overline{6}$

解题步骤 4.3

将 $e^{- 0.12 t}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{C} e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$

解题步骤 4.4

用加号或减号合并常数。

$P = 8.\overline{3} (C e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$

微积分学 示例

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