微积分学示例

$x^{5} y d x + ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x^{5} y d x$ 。

$(y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x) d y = - x^{5} y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{\csc (x) y}$ 。

$\frac{1}{\csc (x) y} ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $\csc (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $\csc (x) y$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{1}{\csc (x) (y)} ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.1.2

从 $(y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{1}{\csc (x) (y)} (\csc (x) (y^{4} + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.1.3

约去公因数。

$\frac{1}{\csc (x) y} (\csc (x) (y^{4} + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.1.4

重写表达式。

$\frac{1}{y} (y^{4} + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $y^{4} + 3 y^{2}$ 。

$\frac{y^{4} + 3 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.3

从 $y^{4} + 3 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

从 $y^{4}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} y^{2} + 3 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.3.2

从 $3 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.3.3

从 $y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (y^{2} + 3)}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $y^{2} (y^{2} + 3)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y^{1}} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.4.2.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y \cdot 1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.4.2.3

约去公因数。

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y \cdot 1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.4.2.4

重写表达式。

$\frac{y (y^{2} + 3)}{1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.4.2.5

用 $y (y^{2} + 3)$ 除以 $1$ 。

$y (y^{2} + 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$(y \cdot y^{2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$(y^{1} y^{2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(y^{1 + 2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.6.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(y^{3} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.7

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

解题步骤 3.8

使用乘法的交换性质重写。

$(y^{3} + 3 y) d y = - \frac{1}{\csc (x) y} (x^{5} y) d x$

解题步骤 3.9

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.1

将 $- \frac{1}{\csc (x) y}$ 中前置负号移到分子中。

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{\csc (x) y} (x^{5} y) d x$

解题步骤 3.9.2

从 $\csc (x) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (x^{5} y) d x$

解题步骤 3.9.3

从 $x^{5} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (y x^{5}) d x$

解题步骤 3.9.4

约去公因数。

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (y x^{5}) d x$

解题步骤 3.9.5

重写表达式。

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{\csc (x)} x^{5} d x$

解题步骤 3.10

组合 $\frac{- 1}{\csc (x)}$ 和 $x^{5}$ 。

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- x^{5}}{\csc (x)} d x$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$(y^{3} + 3 y) d y = - \frac{x^{5}}{\csc (x)} d x$

解题步骤 3.12

分离分数。

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}) d x$

解题步骤 3.13

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}) d x$

解题步骤 3.14

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} (1 \sin (x))) d x$

解题步骤 3.15

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \sin (x)) d x$

解题步骤 3.16

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$(y^{3} + 3 y) d y = - x^{5} \sin (x) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int y^{3} + 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{3} d y + \int 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

解题步骤 4.2.2

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 3 \int y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

解题步骤 4.2.4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - x^{5} \sin (x) d x$

解题步骤 4.2.5

化简。

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解题步骤 4.2.5.1

化简。

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - x^{5} \sin (x) d x$

解题步骤 4.2.5.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x^{5} \sin (x) d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - \int x^{5} \sin (x) d x$

解题步骤 4.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{5}$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (5 x^{4}) d x)$

解题步骤 4.3.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - \int - 5 \cos (x) x^{4} d x)$

解题步骤 4.3.4

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - (- 5 \int \cos (x) x^{4} d x))$

解题步骤 4.3.5

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 \int \cos (x) x^{4} d x)$

解题步骤 4.3.6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{4}$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - \int \sin (x) (4 x^{3}) d x))$

解题步骤 4.3.7

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - (4 \int \sin (x) (x^{3}) d x)))$

解题步骤 4.3.8

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 \int \sin (x) (x^{3}) d x))$

解题步骤 4.3.9

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{3}$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (3 x^{2}) d x)))$

解题步骤 4.3.10

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - \int - 3 \cos (x) x^{2} d x)))$

解题步骤 4.3.11

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - (- 3 \int \cos (x) x^{2} d x))))$

解题步骤 4.3.12

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 \int \cos (x) x^{2} d x)))$

解题步骤 4.3.13

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - \int \sin (x) (2 x) d x))))$

解题步骤 4.3.14

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - (2 \int \sin (x) (x) d x)))))$

解题步骤 4.3.15

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 \int \sin (x) (x) d x))))$

解题步骤 4.3.16

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)))))$

解题步骤 4.3.17

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)))))$

解题步骤 4.3.18

化简。

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解题步骤 4.3.18.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)))))$

解题步骤 4.3.18.2

将 $\int \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)))))$

解题步骤 4.3.19

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{4})))))$

解题步骤 4.3.20

将 $- (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{4})))))$ 重写为 $- (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + C_{4}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} = - (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + K$

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