微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1

重写微分方程以符合伯努利方程。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

解题步骤 1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

解题步骤 1.3

从 $4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x}$

解题步骤 1.4

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x^{1}}$

解题步骤 1.4.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

解题步骤 1.4.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

解题步骤 1.4.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 1.4.5

用 $4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.5

从 $\frac{- 2 y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.6

将 $y$ 和 $\frac{- 2}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{\frac{1}{2}}$ 的指数。

$v = y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{2}$

解题步骤 4

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{2}$

解题步骤 5

取 $v^{2}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 5.1

取 $v^{2}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

解题步骤 5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = v$ 。

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解题步骤 5.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $v$ 。

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

解题步骤 5.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

解题步骤 5.2.3

使用 $v$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

解题步骤 5.3

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = 2 v v'$

解题步骤 6

在原方程 $\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $2 v v'$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{2}$ 。

$2 v v' + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7

求解代入的微分方程。

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解题步骤 7.1

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项除以 $2 v$ 并化简。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $2 v$ 。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.2

重写表达式。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.2

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.2.2

用 $\frac{d v}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.3

约去 $v^{2}$ 和 $v$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.3.1

从 $\frac{- 2}{x} v^{2}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.3.2.1

从 $2 v$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.4

组合 $\frac{- 2}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- \frac{2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.7.1

将 $- \frac{2 v}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.7.2

从 $- 2 v$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.7.3

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.7.4

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.1.1.3.1

从 $4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.2.1

从 $2 v$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 (v)}$

解题步骤 7.1.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{v}$

解题步骤 7.1.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1

将 ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.2.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{1}}{v}$

解题步骤 7.1.1.3.3.2

化简。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

解题步骤 7.1.1.3.4

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

解题步骤 7.1.1.3.4.2

用 $2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = 2 x^{2}$

解题步骤 7.1.2

从 $- \frac{v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = 2 x^{2}$

解题步骤 7.1.3

将 $v$ 和 $- \frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = 2 x^{2}$

解题步骤 7.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2

对 $- \frac{1}{x}$ 积分。

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解题步骤 7.2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 7.2.2.3

化简。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

解题步骤 7.2.3

去掉积分常数。

$e^{- \ln (x)}$

解题步骤 7.2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

解题步骤 7.2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 1}$

解题步骤 7.2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 7.3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 7.3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{d v}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.3

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.1

将 $\frac{v}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

解题步骤 7.3.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

解题步骤 7.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x^{2}$

解题步骤 7.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} x^{2}$

解题步骤 7.3.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

解题步骤 7.3.5.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

解题步骤 7.3.5.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 x$

解题步骤 7.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = 2 x$

解题步骤 7.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int 2 x d x$

解题步骤 7.6

对左边积分。

$\frac{1}{x} v = \int 2 x d x$

解题步骤 7.7

对右边积分。

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解题步骤 7.7.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{x} v = 2 \int x d x$

解题步骤 7.7.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 7.7.3

化简答案。

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解题步骤 7.7.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 7.7.3.2

化简。

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解题步骤 7.7.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x} v = 1 x^{2} + C$

解题步骤 7.7.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x} v = x^{2} + C$

解题步骤 7.8

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.8.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{v}{x} = x^{2} + C$

解题步骤 7.8.2

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

解题步骤 7.8.3

化简。

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解题步骤 7.8.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.8.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

解题步骤 7.8.3.1.1.2

重写表达式。

$v = (x^{2} + C) x$

解题步骤 7.8.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.8.3.2.1

化简 $(x^{2} + C) x$ 。

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解题步骤 7.8.3.2.1.1

运用分配律。

$v = x^{2} x + C x$

解题步骤 7.8.3.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.8.3.2.1.2.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.8.3.2.1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$v = x^{2} x^{1} + C x$

解题步骤 7.8.3.2.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v = x^{2 + 1} + C x$

解题步骤 7.8.3.2.1.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$v = x^{3} + C x$

解题步骤 8

代入 $y^{\frac{1}{2}}$ 替换 $v$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + C x$

微积分学 示例

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