微积分学示例

$\frac{1}{e^{x}} + 2 = x - 3 \frac{d y}{d x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将方程重写为 $x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$ 。

$x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$

解题步骤 1.1.3

将 $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

解题步骤 1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

解题步骤 1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{1}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

合并。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

解题步骤 1.1.3.3.1.4

将 $- 3$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

解题步骤 1.1.3.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

解题步骤 1.1.3.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{- x}{- 3}$

解题步骤 1.1.3.3.1.7

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = (- \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{x}} d x) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $e^{x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将 ${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.4.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.4.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.4.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.4.2.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.5

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.5.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int - e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = 1 (\frac{1}{3}) \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.7.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.9

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \int \frac{x}{3} d x$

解题步骤 2.3.10

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} \int x d x$

解题步骤 2.3.11

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

解题步骤 2.3.12

化简。

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解题步骤 2.3.12.1

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

解题步骤 2.3.12.2

化简。

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解题步骤 2.3.12.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{5}$

解题步骤 2.3.12.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

解题步骤 2.3.13

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + K$

微积分学 示例

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