微积分学示例

$x (y^{2} - 1) d y - y (x^{2} - 1) d x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $y (x^{2} - 1) d x$ 。

$x (y^{2} - 1) d y = y (x^{2} - 1) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (y)} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} (y^{2} - 1) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $y^{2} - 1$ 。

$\frac{y^{2} - 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.4.3

重写表达式。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x} d x$

解题步骤 3.6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\int \frac{y (y - 1) + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.4

将 $y$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.5

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{y^{1} y - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.6

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{y^{1 + 1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.8

化简表达式。

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解题步骤 4.2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{y^{2} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.8.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.8.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.9

将 $- 1 y$ 和 $y$ 相加。

$\int \frac{y^{2} + 0 - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.10

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.11

用 $y^{2} - 1$ 除以 $y$ 。

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解题步骤 4.2.11.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

解题步骤 4.2.11.2

将被除数中的最高阶项 $y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$

解题步骤 4.2.11.3

将新的商式项乘以除数。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

解题步骤 4.2.11.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y^{2} + 0$ 中的所有符号

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

解题步骤 4.2.11.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

解题步骤 4.2.11.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

解题步骤 4.2.11.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int y - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.12

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.13

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.14

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.15

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.2.16

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4.3.3

运用分配律。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 4.3.4

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 4.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 4.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 4.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 4.3.8

化简表达式。

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解题步骤 4.3.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 4.3.8.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 4.3.8.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x} d x$

解题步骤 4.3.9

将 $- 1 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 0 - 1}{x} d x$

解题步骤 4.3.10

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

解题步骤 4.3.11

用 $x^{2} - 1$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.11.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 4.3.11.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

解题步骤 4.3.11.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

解题步骤 4.3.11.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

解题步骤 4.3.11.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

解题步骤 4.3.11.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

解题步骤 4.3.11.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.12

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.13

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.14

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.15

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - (\ln (| x |) + C_{5})$

解题步骤 4.3.16

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{6}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$

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