微积分学示例

$y (x^{2} - 1) d y - x (y^{2} - 1) d x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $x (y^{2} - 1) d x$ 。

$y (x^{2} - 1) d y = x (y^{2} - 1) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x^{2} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $y (x^{2} - 1)$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{y^{2} - 1}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y^{2} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ 中分解出因数 $y^{2} - 1$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $x (y^{2} - 1)$ 中分解出因数 $y^{2} - 1$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

解题步骤 3.4.3

约去公因数。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

解题步骤 3.4.4

重写表达式。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x^{2} - 1} x d x$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 和 $x$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

解题步骤 3.6

化简分母。

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解题步骤 3.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

解题步骤 3.6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

使 $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ 。然后使 $d u_{1} = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.1.1

设 $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $(y + 1) (y - 1)$ 求导。

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

解题步骤 4.2.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y + 1$ 且 $g (y) = y - 1$ 。

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3

求微分。

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解题步骤 4.2.1.1.3.1

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.4.2

将 $y + 1$ 乘以 $1$ 。

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.5

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 4.2.1.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 4.2.1.1.3.7

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

解题步骤 4.2.1.1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.1.1.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.2

将 $y - 1$ 乘以 $1$ 。

$y + 1 + y - 1$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.3

将 $y$ 和 $y$ 相加。

$2 y + 1 - 1$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.2.1.1.3.8.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 y + 0$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.4.2

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$2 y$

解题步骤 4.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.5

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.6

使用 $(y + 1) (y - 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

使 $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.1.1

设 $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

对 $(x + 1) (x - 1)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

解题步骤 4.3.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.1.1.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1.1.3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.1.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.1.1.3.4.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.1.1.3.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.3.1.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.3.1.1.3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

解题步骤 4.3.1.1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.3.1.1.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.1.3.8.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$x + 1 + x - 1$

解题步骤 4.3.1.1.3.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x + 1 - 1$

解题步骤 4.3.1.1.3.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.3.1.1.3.8.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 4.3.1.1.3.8.4.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 4.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.5

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 4.3.6

使用 $(x + 1) (x - 1)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(y + 1) (y - 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

运用分配律。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

运用分配律。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.1.3

运用分配律。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.3

将 $y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| y^{2} - 1 |)$ 。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.4.1

约去公因数。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.4.2

重写表达式。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1.1

运用分配律。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.1.2

运用分配律。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.1.3

运用分配律。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| x^{2} - 1 |)$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

解题步骤 5.2.2.1.2

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 5.2.2.1.3

化简项。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1

组合 $C$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

解题步骤 5.2.2.1.3.2

在公分母上合并分子。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{\ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.2.1.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.3.3.1

约去公因数。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{\ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.2.1.3.3.2

重写表达式。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2$

解题步骤 5.2.2.1.4

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C$

解题步骤 5.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y^{2} - 1 |) - \ln (| x^{2} - 1 |) = 2 C$

解题步骤 5.4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5

化简分子。

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解题步骤 5.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.3

使用 FOIL 方法展开 $(y + 1) (y - 1)$ 。

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解题步骤 5.5.3.1

运用分配律。

$\ln (\frac{| y (y - 1) + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.3.2

运用分配律。

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.3.3

运用分配律。

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.4.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\ln (\frac{| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.4.1.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.4.1.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\ln (\frac{| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.4.1.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.4.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$\ln (\frac{| y^{2} + 0 - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.4.3

将 $y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.5.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.6

化简分母。

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解题步骤 5.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.6.3.1

运用分配律。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.3.2

运用分配律。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.3.3

运用分配律。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.6.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.4.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.4.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.4.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.4.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + 0 - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.4.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = 2 C$

解题步骤 5.6.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$

解题步骤 5.7

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{2 C}$

解题步骤 5.8

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2 C} = \frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

解题步骤 5.9

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.9.1

将方程重写为 $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{2 C}$ 。

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{2 C}$

解题步骤 5.9.2

两边同时乘以 $| (x + 1) (x - 1) |$ 。

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3

化简。

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解题步骤 5.9.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.9.3.1.1

化简 $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) |$ 。

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解题步骤 5.9.3.1.1.1

约去 $| (x + 1) (x - 1) |$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.3.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.1.1.1.2

重写表达式。

$| (y + 1) (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(y + 1) (y - 1)$ 。

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解题步骤 5.9.3.1.1.2.1

运用分配律。

$| y (y - 1) + 1 (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.1.1.2.2

运用分配律。

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.1.1.2.3

运用分配律。

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.9.3.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.9.3.1.1.3.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.1.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.1.1.3.1.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.1.1.3.1.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.1.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$| y^{2} - y + y - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.1.1.3.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$| y^{2} + 0 - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.1.1.3.3

将 $y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.9.3.2.1

化简 $e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$ 。

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解题步骤 5.9.3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.9.3.2.1.1.1

运用分配律。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.2.1.1.2

运用分配律。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

解题步骤 5.9.3.2.1.1.3

运用分配律。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

解题步骤 5.9.3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.9.3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.9.3.2.1.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

解题步骤 5.9.3.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

解题步骤 5.9.3.2.1.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

解题步骤 5.9.3.2.1.2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

解题步骤 5.9.3.2.1.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + x - 1 |$

解题步骤 5.9.3.2.1.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} + 0 - 1 |$

解题步骤 5.9.3.2.1.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - 1 |$

解题步骤 5.9.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.9.4.1

将 $e^{2 C} | x^{2} - 1 |$ 中的因式重新排序。

$| y^{2} - 1 | = | x^{2} - 1 | e^{2 C}$

解题步骤 5.9.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y^{2} - 1 = \pm | x^{2} - 1 | e^{2 C}$

解题步骤 5.9.4.3

将 $\pm | x^{2} - 1 | e^{2 C}$ 中的因式重新排序。

$y^{2} - 1 = \pm e^{2 C} | x^{2} - 1 |$

解题步骤 5.9.4.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$y^{2} = \pm e^{2 C} | x^{2} - 1 | + 1$

解题步骤 5.9.4.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | x^{2} - 1 | + 1}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

化简积分常数。

$y = \pm \sqrt{\pm C | x^{2} - 1 | + 1}$

解题步骤 6.2

用加号或减号合并常数。

$y = \pm \sqrt{C | x^{2} - 1 | + 1}$

微积分学 示例

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