微积分学示例

$x (\frac{d y}{d x}) = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$

解题步骤 1

将 $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

解题步骤 1.3.1.2

用 $2 e^{- \frac{y}{x}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 e^{- \frac{y}{x}}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + 2 e^{- V}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 e^{- V}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 e^{- V} - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

合并 $V + 2 e^{- V} - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V} + 0$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

将 $2 e^{- V}$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$

解题步骤 6.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{- V}}$ 。

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{- V}} \cdot \frac{2 e^{- V}}{x}$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

合并。

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

解题步骤 6.1.3.2

约去 $e^{- V}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

解题步骤 6.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x}$

解题步骤 6.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{e^{- V}} d V = \frac{2}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{e^{- V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 $e^{- V}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int 1 {(e^{- V})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

将 ${(e^{- V})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 1 e^{- V \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2.1.2

乘以 $- V \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 e^{1 V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2.1.2.2

将 $V$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

将 $e^{V}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

$e^{V}$ 对 $V$ 的积分为 $e^{V}$ 。

$e^{V} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

对右边积分。

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解题步骤 6.2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{V} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{V} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 6.2.3.3

化简。

$e^{V} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$e^{V} = 2 \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{V}) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

解题步骤 6.3.2

展开左边。

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解题步骤 6.3.2.1

通过将 $V$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{V})$ 。

$V \ln (e) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

解题步骤 6.3.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$V \cdot 1 = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

解题步骤 6.3.2.3

将 $V$ 乘以 $1$ 。

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

解题步骤 6.3.3

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{2})$ 。

$V = \ln (2 \ln (x) + C)$

解题步骤 6.3.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $\ln (\ln (x^{2}) + C) x$ 中的因式重新排序。

$y = x \ln (\ln (x^{2}) + C)$

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