微积分学示例

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$ 中分解出因数 $3 x^{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $3 x^{4} y^{6}$ 中分解出因数 $3 x^{4}$ 。

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) - 6 x^{4}$

解题步骤 1.1.2

从 $- 6 x^{4}$ 中分解出因数 $3 x^{4}$ 。

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$

解题步骤 1.1.3

从 $3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$ 中分解出因数 $3 x^{4}$ 。

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6} - 2)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{6} - 2}$ 。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{6} - 2} (3 x^{4} (y^{6} - 2))$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 \frac{1}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

解题步骤 1.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{y^{6} - 2}$ 。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

解题步骤 1.3.3

约去 $y^{6} - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.1

从 $x^{4} (y^{6} - 2)$ 中分解出因数 $y^{6} - 2$ 。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

解题步骤 1.3.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

解题步骤 1.3.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 x^{4}$

解题步骤 1.4

去掉多余的括号。

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = 3 x^{4} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = \int 3 x^{4} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{y^{6} - 2}$ 和 $y^{5}$ 。

$\int \frac{y^{5}}{y^{6} - 2} d y = \int 3 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u = y^{6} - 2$ 。然后使 $d u = 6 y^{5} d y$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = y^{5} d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = y^{6} - 2$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $y^{6} - 2$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y^{6} - 2]$

解题步骤 2.2.2.1.2

根据加法法则， $y^{6} - 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$6 y^{5} + \frac{d}{d y} [- 2]$

解题步骤 2.2.2.1.4

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$6 y^{5} + 0$

解题步骤 2.2.2.1.5

将 $6 y^{5}$ 和 $0$ 相加。

$6 y^{5}$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int 3 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int 3 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.3.2

将 $6$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{6 u} d u = \int 3 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int 3 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 3 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

$\frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $y^{6} - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 \int x^{4} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ 重写为 $3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \frac{3}{5} x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{3}{5} x^{5} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $6$ 。

$6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |)) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $\ln (| y^{6} - 2 |)$ 。

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3 x^{5}}{5} + C)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 \frac{3 x^{5}}{5} + 6 C$

解题步骤 3.2.2.1.3

乘以 $6 \frac{3 x^{5}}{5}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

组合 $6$ 和 $\frac{3 x^{5}}{5}$ 。

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{6 (3 x^{5})}{5} + 6 C$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y^{6} - 2 |)} = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} = | y^{6} - 2 |$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$ 。

$| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

解题步骤 3.5.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y^{6} - 2 = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

解题步骤 3.5.3

在等式两边都加上 $2$ 。

$y^{6} = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2$

解题步骤 3.5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C} + 2}$

解题步骤 4.2

将 $e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C}$ 重写为 $e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C}$ 。

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C} + 2}$

解题步骤 4.3

将 $e^{\frac{18 x^{5}}{5}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{C} e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$

解题步骤 4.4

用加号或减号合并常数。

$y = \pm \sqrt[6]{C e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$

微积分学 示例

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