微积分学示例

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y) d x + (y - x) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)]$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{1}{x^{2}}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

解题步骤 1.3

根据加法法则， $1 - x^{2} y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

解题步骤 1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

解题步骤 1.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

解题步骤 1.6

因为 $- x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x^{2} y$ 对 $y$ 的导数是 $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (- x^{2} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.7

化简项。

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解题步骤 1.7.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.7.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.2.1

约去公因数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.7.2.2

重写表达式。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y - x$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $y - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

解题步骤 2.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 1 = - 1$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$- 1 = - 1$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int y - x d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = y - x$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

解题步骤 5.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

解题步骤 5.3

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

解题步骤 5.4

化简。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 8.2

求微分。

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解题步骤 8.2.1

根据加法法则， $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 8.2.2

因为 $\frac{1}{2} y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

从 $0$ 中减去 $y$ 。

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 8.5.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简 $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ 。

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解题步骤 9.1.1.1

重写。

$\frac{d g}{d x} - y = 0 + 0 + \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 9.1.1.2

通过加上各个零进行化简。

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

解题步骤 9.1.1.3

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $1 - x^{2} y$ 。

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

解题步骤 9.1.2

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.2.1

在等式两边都加上 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

解题步骤 9.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 9.1.2.2.1

分解分数 $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ 成为两个分数。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

解题步骤 9.1.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 9.1.2.2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

解题步骤 9.1.2.2.2.1.2

用 $- 1 y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

解题步骤 9.1.2.2.2.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

解题步骤 9.1.2.3

合并 $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.3.1

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

解题步骤 9.1.2.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 10

求 $\frac{1}{x^{2}}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 10.3

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 10.4

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 10.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

解题步骤 10.5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$g (x) = - x^{- 1} + C$

解题步骤 10.6

将 $- x^{- 1} + C$ 重写为 $- \frac{1}{x} + C$ 。

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

微积分学 示例

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