微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{5 + x^{3}}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{5 + x^{3}}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{9 x^{2}}{\sqrt{5 + x^{3}}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{9 x^{2}}{\sqrt{5 + x^{3}}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 9 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{5 + x^{3}}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 5 + x^{3}$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 5 + x^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $5 + x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 + x^{3}]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $5 + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.2.1.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 + 3 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $0$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = 9 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$y + C_{1} = 9 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

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解题步骤 2.3.5.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $9$ 。

$y + C_{1} = \frac{9}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{3}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = 3 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = 3 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y + C_{1} = 3 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = 3 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y + C_{1} = 6 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $5 + x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = 6 {(5 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 6 {(5 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$

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