微积分学示例

$\frac{1}{y} d x + 3 y d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{y} d x$ 。

$3 y d y = - \frac{1}{y} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $y$ 。

$y (3 y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 y \cdot y d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

解题步骤 3.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.2.1

移动 $y$ 。

$3 (y \cdot y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

解题步骤 3.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 y^{2} d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

$3 y^{2} d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$3 y^{2} d y = - y \frac{1}{y} d x$

解题步骤 3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

解题步骤 3.4.3

重写表达式。

$3 y^{2} d y = - 1 d x$

$3 y^{2} d y = - 1 d x$

$3 y^{2} d y = - 1 d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int 3 y^{2} d y = \int - 1 d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int y^{2} d y = \int - 1 d x$

解题步骤 4.2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - 1 d x$

解题步骤 4.2.3

化简答案。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ 。

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

解题步骤 4.2.3.2

化简。

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解题步骤 4.2.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

解题步骤 4.2.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

解题步骤 4.2.3.2.2.2

重写表达式。

$1 y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

$1 y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

解题步骤 4.2.3.2.3

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

解题步骤 4.3

应用常数不变法则。

$y^{3} + C_{1} = - x + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y^{3} = - x + K$

$y^{3} = - x + K$

解题步骤 5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- x + K}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$