微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2}}{x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{6 y^{2}}{x}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

合并。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (6 y^{2})}{y^{2} x}$

解题步骤 1.2.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (6 y^{2})}{y^{2} x}$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (6)}{x}$

解题步骤 1.2.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{6}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{6}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{6}{x} d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{6}{x} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{6}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

将 $- y^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{y} = 6 \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $6 \ln (| x |)$ 。

$- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{6}) + C$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1$

解题步骤 3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{6}) + C$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{6}) + C$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$- \frac{1}{y} y = \ln ({| x |}^{6}) y + C y$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{6}) y + C y$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{6}) y + C y$

解题步骤 3.3.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = \ln ({| x |}^{6}) y + C y$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

去掉 ${| x |}^{6}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$- 1 = \ln (x^{6}) y + C y$

解题步骤 3.3.3.2

将 $\ln (x^{6}) y + C y$ 中的因式重新排序。

$- 1 = y \ln (x^{6}) + C y$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $y \ln (x^{6}) + C y = - 1$ 。

$y \ln (x^{6}) + C y = - 1$

解题步骤 3.4.2

从 $y \ln (x^{6}) + C y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $y \ln (x^{6})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (\ln (x^{6})) + C y = - 1$

解题步骤 3.4.2.2

从 $C y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (\ln (x^{6})) + y C = - 1$

解题步骤 3.4.2.3

从 $y (\ln (x^{6})) + y C$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (\ln (x^{6}) + C) = - 1$

解题步骤 3.4.3

将 $y (\ln (x^{6}) + C) = - 1$ 中的每一项除以 $\ln (x^{6}) + C$ 并化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $y (\ln (x^{6}) + C) = - 1$ 中的每一项都除以 $\ln (x^{6}) + C$ 。

$\frac{y (\ln (x^{6}) + C)}{\ln (x^{6}) + C} = \frac{- 1}{\ln (x^{6}) + C}$

解题步骤 3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.2.1

约去 $\ln (x^{6}) + C$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (\ln (x^{6}) + C)}{\ln (x^{6}) + C} = \frac{- 1}{\ln (x^{6}) + C}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 1}{\ln (x^{6}) + C}$

解题步骤 3.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{\ln (x^{6}) + C}$

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