微积分学示例

$\frac{x}{15 y^{2}} = \frac{d y}{d x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

翻转两边以得到左边的 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{15 y^{2}}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{15 y^{2}}$

解题步骤 1.3

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $15 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{15}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$y^{2} d y = \frac{x}{15} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int \frac{x}{15} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{15} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{15}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{15}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $\frac{1}{15}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $15$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{30} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{30} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{30}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{30} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{30} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

从 $30$ 中分解出因数 $3$ 。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (10)} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去公因数。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 10} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

重写表达式。

$y^{3} = \frac{x^{2}}{10} + 3 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$

解题步骤 3.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要将 $3 K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K \cdot \frac{10}{10}}$

解题步骤 3.4.2

组合 $3 K$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + \frac{3 K \cdot 10}{10}}$

解题步骤 3.4.3

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 3 K \cdot 10}{10}}$

解题步骤 3.4.4

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$

解题步骤 3.4.5

将 $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$

解题步骤 3.4.6

将 $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

解题步骤 3.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.7.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

解题步骤 3.4.7.2

对 $\sqrt[3]{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

解题步骤 3.4.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.4.7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

解题步骤 3.4.7.5

将 ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 3.4.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.4.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.4.7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.7.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.7.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

解题步骤 3.4.7.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

解题步骤 3.4.8

化简分子。

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解题步骤 3.4.8.1

将 ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{10^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

解题步骤 3.4.8.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{100}}{10}$

解题步骤 3.4.9

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.4.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$

解题步骤 3.4.9.2

将 $\frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + 30 K)}}{10}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + K)}}{10}$

微积分学 示例

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