微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{x}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (\frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arcsin (x)$

$y + C_{1} = - (\arcsin (x) + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = - (\arcsin (x) + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

解题步骤 2.3.7

化简。

$y + C_{1} = - \arcsin (x) + \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.8

重新排序项。

$y + C_{1} = \ln (| x |) - \arcsin (x) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = \ln (| x |) - \arcsin (x) + C$

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