微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{2}$ , $y (0) = 0$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = x$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int x d x}$

解题步骤 1.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

解题步骤 1.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

解题步骤 2.2

将 $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

使 $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = x d x$ ，以便 $\frac{1}{x} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1.1

设 $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $\frac{x^{2}}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 6.1.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 6.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 6.1.1.4

化简项。

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解题步骤 6.1.1.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} x$

解题步骤 6.1.1.4.2

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2}$

解题步骤 6.1.1.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.4.3.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2}$

解题步骤 6.1.1.4.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x$

解题步骤 6.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = e^{u_{1}}$ ， $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.3.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.3.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.3.5

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.4

由于 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 移到积分外。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.5.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.5.3.2.2

约去公因数。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.5.3.2.3

重写表达式。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.5.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.6

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$

解题步骤 6.7

化简。

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解题步骤 6.7.1

将 $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$ 重写为 $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 6.7.2

化简。

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解题步骤 6.7.2.1

从 $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 中减去 $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

解题步骤 6.7.2.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$

解题步骤 7

将 $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ 中的每一项除以 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ 中的每一项都除以 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 8

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ 中求 $C$ 的值。

$0 = \frac{C}{e^{\frac{0^{2}}{2}}}$

解题步骤 9

将分子设为等于零。

$C = 0$

解题步骤 10

代入 $0$ 替换 $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 10.1

代入 $0$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{0}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 10.2

用 $0$ 除以 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。

$y = 0$

微积分学 示例

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