微积分学示例

$2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} - 3 x = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上 $3 x$ 。

$2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$

解题步骤 1.1.2

将 $2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$ 中的每一项除以 $2 \sqrt{y}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$ 中的每一项都除以 $2 \sqrt{y}$ 。

$\frac{2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{2 \sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{2 \sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去 $\sqrt{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{y} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{y}} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $\frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2 \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 1.1.2.3.2.1

将 $\frac{3 x}{2 \sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 \sqrt{y} \sqrt{y}}$

解题步骤 1.1.2.3.2.2

移动 $\sqrt{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 (\sqrt{y} \sqrt{y})}$

解题步骤 1.1.2.3.2.3

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}$

解题步骤 1.1.2.3.2.4

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}$

解题步骤 1.1.2.3.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.1.2.3.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 {\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.2.7

将 ${\sqrt{y}}^{2}$ 重写为 $y$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.2.3.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.3.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.2.7.4.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.3.2.7.4.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y^{1}}$

解题步骤 1.1.2.3.2.7.5

化简。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{y}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{y}{\sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.2

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $\frac{y}{\sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.2.2

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.2.3

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.2.6

将 ${\sqrt{y}}^{2}$ 重写为 $y$ 。

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解题步骤 1.4.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y^{1}} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.2.6.5

化简。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

约去公因数。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{y}}{y} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.3.2

用 $\sqrt{y}$ 除以 $1$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} (\frac{3 x}{2} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y})$

解题步骤 1.4.4

将 $\frac{3 x}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{y}$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$

解题步骤 1.4.5

乘以 $\sqrt{y} \frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$ 。

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解题步骤 1.4.5.1

组合 $\sqrt{y}$ 和 $\frac{3 x \sqrt{y}}{2 y}$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y} (3 x \sqrt{y})}{2 y}$

解题步骤 1.4.5.2

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{2 y}$

解题步骤 1.4.5.3

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{2 y}$

解题步骤 1.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{2 y}$

解题步骤 1.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x {\sqrt{y}}^{2}}{2 y}$

解题步骤 1.4.6

将 ${\sqrt{y}}^{2}$ 重写为 $y$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 y}$

解题步骤 1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 y}$

解题步骤 1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{\frac{2}{2}}}{2 y}$

解题步骤 1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{\frac{2}{2}}}{2 y}$

解题步骤 1.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y^{1}}{2 y}$

解题步骤 1.4.6.5

化简。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y}{2 y}$

解题步骤 1.4.7

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.7.1

约去公因数。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x y}{2 y}$

解题步骤 1.4.7.2

重写表达式。

$\frac{y}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{2}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{y}{\sqrt{y}} d y = \frac{3 x}{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{y}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\int y \cdot y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.2.1

将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int y^{1} y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y^{1 - \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\int y^{\frac{2 - 1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int y^{\frac{1}{2}} d y = \int \frac{3 x}{2} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{\frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int \frac{3 x}{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{3}{4} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{4} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $y^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

合并。

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.4

重写表达式。

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.5

约去公因数。

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.6

用 $y^{\frac{3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $\frac{3}{2} (\frac{3}{4} x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{3 x^{2}}{4} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

运用分配律。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3}{2} K$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

合并。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (3 x^{2})}{2 \cdot 4} + \frac{3}{2} K$

解题步骤 3.2.2.1.1.4

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $K$ 。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (3 x^{2})}{2 \cdot 4} + \frac{3 K}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3^{2} x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{3 K}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3^{2} x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2}$

解题步骤 3.3

将方程两边同时进行 $\frac{2}{3}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4

化简左边。

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解题步骤 3.4.1

化简 ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

将 ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.3.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4.1.1.3.2

重写表达式。

$y^{1} = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4.1.2

化简。

$y = {(\frac{9 x^{2}}{8} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = {(\frac{9 x^{2}}{8} + K)}^{\frac{2}{3}}$

微积分学 示例

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