微积分学示例

$x d x - 4 y d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x d x$ 。

$- 4 y d y = - x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int - 4 y d y = \int - x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 4$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$- 4 \int y d y = \int - x d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x d x$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 重写为 $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 。

$- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- 2 y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 2 y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

将 $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 。

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y^{2} = \frac{- \frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2}) + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.3.1.4

乘以 $- \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 3.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{2} = 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.3.1.4.2

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.3.1.4.3

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.3.1.4.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{- 2}$

解题步骤 3.1.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$

解题步骤 3.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要将 $- \frac{K}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{4}}$

解题步骤 3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - K \cdot 2}{4}}$

解题步骤 3.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 K}{4}}$

解题步骤 3.3.5

将 $\frac{x^{2} - 2 K}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

从 $x^{2} - 2 K$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{4}}$

解题步骤 3.3.5.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 3.3.5.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)}$

解题步骤 3.3.6

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 K}$

解题步骤 3.3.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{x^{2} - 2 K}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$

微积分学 示例

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