微积分学示例

$\frac{d T}{d t} + 0.069 T = 2.07$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = 0.069$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 0.069 d t}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{0.069 t + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{0.069 t}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{0.069 t}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{0.069 t}$ 。

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + e^{0.069 t} (0.069 T) = e^{0.069 t} \cdot 2.07$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = e^{0.069 t} \cdot 2.07$

解题步骤 2.3

将 $2.07$ 移到 $e^{0.069 t}$ 的左侧。

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = 2.07 \cdot e^{0.069 t}$

解题步骤 2.4

将 $e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = 2.07 e^{0.069 t}$ 中的因式重新排序。

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 T e^{0.069 t} = 2.07 e^{0.069 t}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{0.069 t} T] = 2.07 e^{0.069 t}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{0.069 t} T] d t = \int 2.07 e^{0.069 t} d t$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{0.069 t} T = \int 2.07 e^{0.069 t} d t$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $2.07$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2.07$ 移到积分外。

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int e^{0.069 t} d t$

解题步骤 6.2

使 $u = 0.069 t$ 。然后使 $d u = 0.069 d t$ ，以便 $\frac{1}{0.069} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.1

设 $u = 0.069 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0.069 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [0.069 t]$

解题步骤 6.2.1.2

因为 $0.069$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.069 t$ 对 $t$ 的导数是 $0.069 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$0.069 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 6.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0.069 \cdot 1$

解题步骤 6.2.1.4

将 $0.069$ 乘以 $1$ 。

$0.069$

解题步骤 6.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int e^{u} \frac{1}{0.069} d u$

解题步骤 6.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{0.069}$ 。

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int \frac{e^{u}}{0.069} d u$

解题步骤 6.4

由于 $\frac{1}{0.069}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{0.069}$ 移到积分外。

$e^{0.069 t} T = 2.07 (\frac{1}{0.069} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.5

组合 $\frac{1}{0.069}$ 和 $2.07$ 。

$e^{0.069 t} T = \frac{2.07}{0.069} \int e^{u} d u$

解题步骤 6.6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{0.069 t} T = \frac{2.07}{0.069} (e^{u} + C)$

解题步骤 6.7

将 $\frac{2.07}{0.069} (e^{u} + C)$ 重写为 $30 e^{u} + C$ 。

$e^{0.069 t} T = 30 e^{u} + C$

解题步骤 6.8

使用 $0.069 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$

解题步骤 7

将 $e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$ 中的每一项除以 $e^{0.069 t}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$ 中的每一项都除以 $e^{0.069 t}$ 。

$\frac{e^{0.069 t} T}{e^{0.069 t}} = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{0.069 t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{0.069 t} T}{e^{0.069 t}} = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $T$ 除以 $1$ 。

$T = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

约去 $e^{0.069 t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1

约去公因数。

$T = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

解题步骤 7.3.1.2

用 $30$ 除以 $1$ 。

$T = 30 + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

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