微积分学示例

Solve the differential equation: $x \frac{d y}{d x} + y = (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x}$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $x y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

解题步骤 1.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x}$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x} d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$x y = \int (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x} d x$

解题步骤 5

对右边积分。

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解题步骤 5.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2} + 3 x$ ， $d v = e^{\frac{2}{3} x}$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) (\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) (\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

解题步骤 5.3

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x)$

解题步骤 5.4

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) d x$

解题步骤 5.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 2 x + 3$ ， $d v = e^{\frac{2 x}{3}}$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) (\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

解题步骤 5.6

化简。

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解题步骤 5.6.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) (\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

解题步骤 5.6.2

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

解题步骤 5.6.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 2 d x)$

解题步骤 5.6.4

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2 d x)$

解题步骤 5.6.5

组合 $\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ 和 $2$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 2}{2} d x)$

解题步骤 5.6.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{6 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} d x)$

解题步骤 5.6.7

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.7.1

从 $6 e^{\frac{2 x}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} d x)$

解题步骤 5.6.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 (1)} d x)$

解题步骤 5.6.7.2.2

约去公因数。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 \cdot 1} d x)$

解题步骤 5.6.7.2.3

重写表达式。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{1} d x)$

解题步骤 5.6.7.2.4

用 $3 e^{\frac{2 x}{3}}$ 除以 $1$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int 3 e^{\frac{2 x}{3}} d x)$

解题步骤 5.7

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - (3 \int e^{\frac{2 x}{3}} d x))$

解题步骤 5.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{\frac{2 x}{3}} d x)$

解题步骤 5.9

使 $u = \frac{2 x}{3}$ 。然后使 $d u = \frac{2}{3} d x$ ，以便 $\frac{3}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.9.1

设 $u = \frac{2 x}{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.9.1.1

对 $\frac{2 x}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

解题步骤 5.9.1.2

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 5.9.1.4

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 5.9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} \frac{1}{\frac{2}{3}} d u)$

解题步骤 5.10

化简。

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解题步骤 5.10.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{2}{3}$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} (1 (\frac{3}{2})) d u)$

解题步骤 5.10.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} \frac{3}{2} d u)$

解题步骤 5.10.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int \frac{e^{u} \cdot 3}{2} d u)$

解题步骤 5.10.4

将 $3$ 移到 $e^{u}$ 的左侧。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int \frac{3 e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 5.11

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 (\frac{3}{2} \int e^{u} d u))$

解题步骤 5.12

化简。

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解题步骤 5.12.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 3$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 5.12.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 5.12.3

将负号移到分数的前面。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 5.13

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} (e^{u} + C))$

解题步骤 5.14

化简。

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解题步骤 5.14.1

将 $(x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} (e^{u} + C))$ 重写为 $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} e^{u}) + C$ 。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} e^{u}) + C$

解题步骤 5.14.2

化简。

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解题步骤 5.14.2.1

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{9}{2}$ 。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{e^{u} \cdot 9}{2}) + C$

解题步骤 5.14.2.2

将 $9$ 移到 $e^{u}$ 的左侧。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 \cdot e^{u}}{2}) + C$

解题步骤 5.14.2.3

要将 $(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 e^{u}}{2}) + C$

解题步骤 5.14.2.4

组合 $(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} (\frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2}{2} - \frac{9 e^{u}}{2}) + C$

解题步骤 5.14.2.5

在公分母上合并分子。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2 - 9 e^{u}}{2} + C$

解题步骤 5.14.2.6

组合 $2$ 和 $\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ 。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

解题步骤 5.14.2.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{6 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

解题步骤 5.14.2.8

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.14.2.8.1

从 $6 e^{\frac{2 x}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

解题步骤 5.14.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 5.14.2.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 (1)} - 9 e^{u}}{2} + C$

解题步骤 5.14.2.8.2.2

约去公因数。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 \cdot 1} - 9 e^{u}}{2} + C$

解题步骤 5.14.2.8.2.3

重写表达式。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{1} - 9 e^{u}}{2} + C$

解题步骤 5.14.2.8.2.4

用 $3 e^{\frac{2 x}{3}}$ 除以 $1$ 。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) (3 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 e^{u}}{2} + C$

解题步骤 5.14.2.9

将 $3$ 移到 $2 x + 3$ 的左侧。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \cdot (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}}{2} + C$

解题步骤 5.14.2.10

将 $\frac{3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}}{2}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{(3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 5.14.2.11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{(3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}) \cdot 3}{4} + C$

解题步骤 5.14.2.12

将 $3$ 移到 $3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}$ 的左侧。

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3 \cdot (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

解题步骤 5.14.2.13

要将 $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

解题步骤 5.14.2.14

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 5.14.2.14.1

将 $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

解题步骤 5.14.2.14.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2}{4} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

解题步骤 5.14.2.15

在公分母上合并分子。

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2 - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

解题步骤 5.14.2.16

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

解题步骤 5.15

使用 $\frac{2 x}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

解题步骤 5.16

化简。

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解题步骤 5.16.1

运用分配律。

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

解题步骤 5.16.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 ((2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

解题步骤 5.16.3

将 $- 9$ 乘以 $- 3$ 。

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 ((2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) + 27 e^{\frac{2 x}{3}}}{4} + C$

解题步骤 5.16.4

将 $- 9 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ 中的因式重新排序。

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2 x}{3}}}{4} + C$

解题步骤 5.17

重新排序项。

$x y = \frac{9}{2} x e^{\frac{2}{3} x} + \frac{1}{4} (x^{2} (6 e^{\frac{2}{3} x}) - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

解题步骤 6

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2}{3} x} - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

解题步骤 6.1.1.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

解题步骤 6.1.1.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

解题步骤 6.1.1.4

运用分配律。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x) - 9 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 3 + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

解题步骤 6.1.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 \cdot 2 e^{\frac{2 x}{3}} x - 9 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 3 + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

解题步骤 6.1.1.6

将 $3$ 乘以 $- 9$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 \cdot 2 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

解题步骤 6.1.1.7

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

解题步骤 6.1.1.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}) + C$

解题步骤 6.1.2

合并 $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ 和 $27 e^{\frac{2 x}{3}}$ 相加。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x + 0) + C$

解题步骤 6.1.2.2

将 $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x$ 和 $0$ 相加。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 (2)} (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.4.2

从 $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 (2)} (2 (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}})) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.4.3

约去公因数。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}})) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.4.4

重写表达式。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2} (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.5

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3}{2} (x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.6

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.7

组合 $\frac{x^{2} \cdot 3}{2}$ 和 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.8.2

从 $- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x)) + C$

解题步骤 6.1.8.3

约去公因数。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x)) + C$

解题步骤 6.1.8.4

重写表达式。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.9

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9}{2} (e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

解题步骤 6.1.10

组合 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 和 $\frac{- 9}{2}$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9}{2} x + C$

解题步骤 6.1.11

组合 $\frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9}{2}$ 和 $x$ 。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9 x}{2} + C$

解题步骤 6.1.12

化简每一项。

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解题步骤 6.1.12.1

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 \cdot x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9 x}{2} + C$

解题步骤 6.1.12.2

将 $- 9$ 移到 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 的左侧。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9 \cdot e^{\frac{2 x}{3}} x}{2} + C$

解题步骤 6.1.12.3

将负号移到分数的前面。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} x}{2} + C$

解题步骤 6.1.13

将 $\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} x}{2}$ 中的因式重新排序。

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$

解题步骤 6.1.14

去掉圆括号。

$x y = \frac{9}{2} \cdot x e^{\frac{2}{3} x} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$

解题步骤 6.2

将 $x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

化简项。

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解题步骤 6.2.3.1.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.1.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.2.2

乘以 $\frac{9}{2} (x e^{\frac{2 x}{3}})$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.2.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{9}{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x \cdot 9}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.2.2.2

组合 $\frac{x \cdot 9}{2}$ 和 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 。

$y = \frac{\frac{x \cdot 9 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.2.3

将 $9$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.3

化简项。

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解题步骤 6.2.3.1.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{C + \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}} + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.3.2

合并 $9 x e^{\frac{2 x}{3}} + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.3.1.3.2.1

从 $9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ 中减去 $9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ 。

$y = \frac{C + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} + 0}{2}}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.3.2.2

将 $3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{C + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

解题步骤 6.2.3.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.2.1

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{C \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

解题步骤 6.2.3.2.2

组合 $C$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{\frac{C \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

解题步骤 6.2.3.2.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{C \cdot 2 + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

解题步骤 6.2.3.2.4

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

解题步骤 6.2.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.2.3.4

将 $\frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$y = \frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2 x}$

微积分学 示例

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