微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y^{2} + 1$ 。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

解题步骤 1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.2

约去 $y^{2} + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

解题步骤 1.2.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

运用分配律。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

解题步骤 1.2.3.2

运用分配律。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

解题步骤 1.2.3.3

运用分配律。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.4

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.4.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.4.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.4.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

解题步骤 1.2.4.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

解题步骤 1.2.4.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(y^{2} + 1) d y = (x^{2} - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} + 1 d y = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

微积分学 示例

微积分学示例