微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + x e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ ，以便 $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

解题步骤 2.3.2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- \frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

使用 $- \frac{x^{2}}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 2.3.2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

组合 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

解题步骤 2.3.2.1.3.4

化简项。

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解题步骤 2.3.2.1.3.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

解题步骤 2.3.2.1.3.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

解题步骤 2.3.2.1.3.4.3

组合 $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.3.4.4

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.3.4.4.1

从 $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.3.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.3.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

解题步骤 2.3.2.1.3.4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.1.3.4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

解题步骤 2.3.2.1.3.4.4.2.4

用 $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 除以 $1$ 。

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

解题步骤 2.3.2.1.3.4.5

将 $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - \int - 1 d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = - (- u_{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.3.4.1

化简。

$y + C_{1} = - - u_{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = 1 u_{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

将 $u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.3

使用 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.4

重新排序项。

$y + C_{1} = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + K$

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