微积分学示例

$(x y) d x - (x + 2) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x y d x$ 。

$- (x + 2) d y = - x y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(x + 2) y}$ 。

$\frac{1}{(x + 2) y} (- (x + 2)) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

解题步骤 3.2

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{(x + 2) y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

解题步骤 3.2.2

从 $(x + 2) y$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$\frac{- 1}{(x + 2) (y)} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

解题步骤 3.2.3

约去公因数。

$\frac{- 1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

解题步骤 3.2.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 2) y} (x y) d x$

解题步骤 3.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $- \frac{1}{(x + 2) y}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 2) y} (x y) d x$

解题步骤 3.5.2

从 $(x + 2) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (x y) d x$

解题步骤 3.5.3

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (y x) d x$

解题步骤 3.5.4

约去公因数。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (y x) d x$

解题步骤 3.5.5

重写表达式。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 2} x d x$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{- 1}{x + 2}$ 和 $x$ 。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 2} d x$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 4.2.3

化简。

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 2} d x$

解题步骤 4.3.2

用 $x$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x$

$0$

解题步骤 4.3.2.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

解题步骤 4.3.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

解题步骤 4.3.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 2$ 中的所有符号

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

解题步骤 4.3.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

解题步骤 4.3.2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

解题步骤 4.3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x)$

解题步骤 4.3.4

应用常数不变法则。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x)$

解题步骤 4.3.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x)$

解题步骤 4.3.6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x))$

解题步骤 4.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

解题步骤 4.3.8

使 $u = x + 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.8.1

设 $u = x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.8.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 4.3.8.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.3.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4.3.8.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.3.8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.3.8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 4.3.9

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3}))$

解题步骤 4.3.10

化简。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x - 2 \ln (| u |)) + C_{4}$

解题步骤 4.3.11

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x - 2 \ln (| x + 2 |)) + C_{4}$

解题步骤 4.3.12

化简。

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解题步骤 4.3.12.1

运用分配律。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - x - (- 2 \ln (| x + 2 |)) + C_{4}$

解题步骤 4.3.12.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - x + 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| y |) = - x + 2 \ln (| x + 2 |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- \ln (| y |) - 2 \ln (| x + 2 |) = - x + C$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x + 2 |)$ 。

$- \ln (| y |) - \ln ({| x + 2 |}^{2}) = - x + C$

解题步骤 5.2.1.2

去掉 ${| x + 2 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$- \ln (| y |) - \ln ({(x + 2)}^{2}) = - x + C$

解题步骤 5.3

在等式两边都加上 $\ln ({(x + 2)}^{2})$ 。

$- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$

解题步骤 5.4

将 $- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.2.2

用 $\ln (| y |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\ln (| y |) = \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) = x + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.3

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| y |) = x - 1 \cdot C + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.4

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| y |) = x - C + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.5

移动 $\frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| y |) = x - C - 1 \cdot \ln ({(x + 2)}^{2})$

解题步骤 5.4.3.1.6

将 $- 1 \cdot \ln ({(x + 2)}^{2})$ 重写为 $- \ln ({(x + 2)}^{2})$ 。

$\ln (| y |) = x - C - \ln ({(x + 2)}^{2})$

解题步骤 5.5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x - C$

解题步骤 5.6

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x - C$

解题步骤 5.7

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x - C}$

解题步骤 5.8

使用对数的定义将 $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x - C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.9

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.9.1

将方程重写为 $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ 。

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$

解题步骤 5.9.2

将 $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ 中的每一项除以 ${(x + 2)}^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.9.2.1

将 $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ 中的每一项都除以 ${(x + 2)}^{2}$ 。

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.9.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.9.2.2.1

约去 ${(x + 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.9.2.2.1.2

用 $| y |$ 除以 $1$ 。

$| y | = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.9.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

化简积分常数。

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $e^{x + C}$ 重写为 $e^{x} e^{C}$ 。

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.3

将 $e^{x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.4

用加号或减号合并常数。

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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