微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 3 x + 2$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 3 x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $3 x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $3 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $u^{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $3 x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ 中求 $K$ 的值。

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ 。

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

解题步骤 4.2.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

解题步骤 4.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

解题步骤 4.2.4.2

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

解题步骤 4.2.4.3

约去公因数。

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

解题步骤 4.2.4.4

重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

解题步骤 4.2.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{3} + K = 1$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{4}{3}$ 。

$K = 1 - \frac{4}{3}$

解题步骤 4.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 4.3.3

在公分母上合并分子。

$K = \frac{3 - 4}{3}$

解题步骤 4.3.4

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$K = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 4.3.5

将负号移到分数的前面。

$K = - \frac{1}{3}$

解题步骤 5

代入 $- \frac{1}{3}$ 替换 $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- \frac{1}{3}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

使用二项式定理。

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.5

将 $27$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.6

将 $2$ 乘以 $108$ 。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.7

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.9

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.11

将 $4$ 乘以 $54$ 。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.12

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.13

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.14

将 $8$ 乘以 $12$ 。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2.15

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4

化简。

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解题步骤 5.2.4.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.1.2

从 $81 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.1.3

约去公因数。

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.1.4

重写表达式。

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.2

组合 $27$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.3

组合 $\frac{27}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.4

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.4.1

从 $216 x^{3}$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.4.2

约去公因数。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.4.3

重写表达式。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.5

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.5.1

从 $216 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.2

约去公因数。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.3

重写表达式。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.6

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.6.1

从 $96 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.6.2

约去公因数。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.6.3

重写表达式。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.7.2

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.7.3

约去公因数。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.7.4

重写表达式。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.4.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $4$ 。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3

在公分母上合并分子。

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

解题步骤 5.4

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

解题步骤 5.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$

微积分学 示例

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