微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{e^{y}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $e^{y}$ 。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{3 x}{e^{y}}$

解题步骤 1.2

约去 $e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{3 x}{e^{y}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 3 x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$e^{y} d y = 3 x d x$

$e^{y} d y = 3 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int e^{y} d y = \int 3 x d x$

解题步骤 2.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int 3 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{y} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$e^{y} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$e^{y} = \frac{3}{2} x^{2} + K$

$e^{y} = \frac{3}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2

展开左边。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + K)$

$y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + K)$

$y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + K)$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$